数学２や数学３の微分積分の単元では、「関数の増減」「極値」「変曲点」「最大最小」などを求めるために、増減表を書くのがノーマルなやり方となっています。
このページでは、３次関数ｙ＝ｆ(ｘ)の増減表の書き方の基本的な手順を解説します。
◆まずは微分してｙ'＝０で解く
増減表は直接的には、関数の増減を表す表なので、関数の増減を示すｙ'の式を求めます。
増加減少が切り替わる点が極値であり、そのとき接線の傾きはゼロなので、ｙ'＝０で解きます。
ｙ'＝０のときのｘの値が左から順にα，βとして、α，βのときのｙ座標を求めます。ｆ(α)，ｆ(β)となります。
この時点で以下のような表を書くことができます。
ｘ ｜…｜α ｜…｜β ｜…｜
ｙ'｜ ｜ ０ ｜ ｜ ０ ｜ ｜
ｙ ｜ ｜ｆ(α)｜ ｜ｆ(β)｜ ｜
◆ｆ(α)＞ｆ(β)のとき
このとき、ｆ(α)＞ｆ(β)ならば、ｆ(α)が極大値、ｆ(β)が極小値となります。
その場合、αより左で増加、αとβの間で減少、βより右で増加なので、増減表は以下のようになります。
ｘ ｜…｜α ｜…｜β ｜…｜
ｙ'｜＋｜ ０ ｜−｜ ０ ｜＋｜
ｙ ｜↗｜ｆ(α)｜↘｜ｆ(β)｜↗｜
全体として右上がりのグラフになることがわかりますね！
◆ｆ(α)＜ｆ(β)のとき
ｆ(α)＜ｆ(β)ならば、ｆ(α)が極小値、ｆ(β)が極大値となります。
その場合、αより左で減少、αとβの間で増加、βより右で減少なので、
ｘ ｜…｜α ｜…｜β ｜…｜
ｙ'｜−｜ ０ ｜＋｜ ０ ｜−｜
ｙ ｜↘｜ｆ(α)｜↗｜ｆ(β)｜↘｜
全体として右下がりのグラフですね！
◆まとめ
・増減表は、関数の極値や最大最小を考えるときに使う。
・微分してｙ'＝０で解く。
・ｆ(α)とｆ(β)を比較して、どちらが極大でどちらが極小か調べる。
・大小関係に矛盾が生じないように、ｙ'に＋か−を、ｙに↘か↗を入れる。
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ｙ＝ｘ^3−３ｘ
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ラベル：数学
