2020年11月19日

高校数学「微分」増減表の基本的な書き方

高校数学「微分」増減表の基本的な書き方

数学2や数学3の微分積分の単元では、「関数の増減」「極値」「変曲点」「最大最小」などを求めるために、増減表を書くのがノーマルなやり方となっています。
このページでは、3次関数y=f(x)の増減表の書き方の基本的な手順を解説します。


◆まずは微分してy'=0で解く

増減表は直接的には、関数の増減を表す表なので、関数の増減を示すy'の式を求めます。

増加減少が切り替わる点が極値であり、そのとき接線の傾きはゼロなので、y'=0で解きます。

y'=0のときのxの値が左から順にα,βとして、α,βのときのy座標を求めます。f(α),f(β)となります。

この時点で以下のような表を書くことができます。

x |…|α |…|β |…|
y'| | 0 | | 0 | |
y | |f(α)| |f(β)| |


◆f(α)>f(β)のとき

このとき、f(α)>f(β)ならば、f(α)が極大値、f(β)が極小値となります。
その場合、αより左で増加、αとβの間で減少、βより右で増加なので、増減表は以下のようになります。

x |…|α |…|β |…|
y'|+| 0 |−| 0 |+|
y |↗|f(α)|↘|f(β)|↗|

全体として右上がりのグラフになることがわかりますね!


◆f(α)<f(β)のとき

f(α)<f(β)ならば、f(α)が極小値、f(β)が極大値となります。
その場合、αより左で減少、αとβの間で増加、βより右で減少なので、

x |…|α |…|β |…|
y'|−| 0 |+| 0 |−|
y |↘|f(α)|↗|f(β)|↘|

全体として右下がりのグラフですね!


◆まとめ

・増減表は、関数の極値や最大最小を考えるときに使う。
・微分してy'=0で解く。
・f(α)とf(β)を比較して、どちらが極大でどちらが極小か調べる。
・大小関係に矛盾が生じないように、y'に+か−を、yに↘か↗を入れる。


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◆関連問題
y=x^3−3x


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ラベル:数学
posted by えま at 07:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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