【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2018年センター試験数１Ａより
第４問
(1) １４４を素因数分解すると
１４４＝２^[ア]×[イ]^[ウ]
であり、１４４の正の約数の個数は[エオ]個である。
(2) 不定方程式
１４４ｘ−７ｙ＝１
の整数解ｘ，ｙの中で、ｘの絶対値が最小になるのは
ｘ＝[カ]，ｙ＝[キク]
であり、すべての整数解は、ｋを整数として
ｘ＝[ケ]ｋ＋[カ]，ｙ＝[コサシ]ｋ＋[キク]
と表される。
(3) １４４の倍数で、７で割ったら余りが１となる自然数のうち、正の約数の
個数が１８個で最小のものは１４４×[ス]であり、正の約数の個数が３０個で
ある最小のものは１４４×[セソ]である。
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 全部解いてから選択が理想だが・・・
◆２ 素因数分解は素数で割っていく
◆３ 約数は割れる数
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ 素因数分解は素数で割っていく
では今回の問題を確認していきましょう。
(1) １４４を素因数分解すると
１４４＝２^[ア]×[イ]^[ウ]
ここまでは高校入試基本レベルですね。
素因数分解は、中学の平方根をやるために必要なので、このメルマガを読んでいる
(大学受験を考えている)人ならば、全員わかるはずです。
これがわからなかったらさすがにマズイです。
一応簡単に説明すると、整数を素数の積の形で表すのが「素因数分解」ですね。
そのために、もとの整数を次々と素数で割っていきます。
２）１４４
――――
２） ７２
――――
２） ３６
――――
２） １８
――――
３） ９
――――
３
このようになるので、１４４＝２^4×３^2
よって、[ア]，[イ]，[ウ]＝４，３，２
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◆３ 約数は割れる数
そして、１４４の正の約数の個数を聞いています。
約数の個数は、素因数分解を活用して、簡単に求めることができます。
約数は「割りきれる数」であることを頭に入れながら読んでみてください。
１４４＝２^4×３^2なので、１４４は、２を４回、３を２回掛けたものです。
つまり、１４４は２では４回割ることができ、３では２回割ることができます。
ということは・・・
つづく
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ラベル：数学
