【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題
2018年センター試験数1Aより
第5問
△ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。
∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]
である。
点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEと
すると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}〜{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つ
ずつ選べ。
BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの
端点[サ]の側の延長上にある。
{0} < {1} = {2} > {3} A {4} C
その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]
である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることが
わかる。
次の[タ]には下の{0}〜{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Dは△ABFの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
◆2 出せるものは何でも出そう!
◆3 二等分線なら対辺を分ける比がわかる
(以下略)
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■ 解説
◆1は省略します。
◆2 出せるものは何でも出そう!
では、今回の問題です。
まずは設定を確認していきましょう!
ぜひ図を描きながら読んでみてくださいね。
△ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。
まず最初にこのように決めています。
ABの長さは2,ACの長さは1で、ABとACに挟まれる∠Aは直角です。
つまり、△ABCは直角三角形です。
直角三角形ならば三平方の定理が成り立ちますね!
BC^2=AB^2+AC^2に、AB=2,AC=1を代入して、
BC^2=4+1=5
∴BC=√5
このように、直接問題では聞かれていなくても、出せるものはどんどん出して
いくとわかりやすくなることがあります。
実際この問題では、最初の設問でこのBCを活用します。
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◆3 二等分線なら対辺を分ける比がわかる
次に「∠Aの二等分線と辺BCとの交点をD」として、BDの長さを聞いています。
DはBC上の点なので、BCをある特定の割合で分けるはずですね?
そこで、今◆2で求めたBC=√5を活用することができるのです。
次に「∠Aの二等分線」に注目してください。
三角形の角の二等分線に関する性質が何かありましたね?それは・・・
つづく
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ラベル:数学