高校物理「力学」あらい斜面上の物体の最高点

高校物理「力学」あらい斜面上の物体の最高点

◆問題

傾角θのあらい斜面の下端から、物体を斜面に沿って初速ｖ0で滑り上がらせた。物体と斜面との間の摩擦係数をμ'，重力加速度の大きさをｇとして次の問いに答えよ。

(1) 斜面下端から物体が達する最高点までの斜面上の距離ｌを求めよ。


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◆解説

摩擦のある斜面の場合、力学的エネルギーは保存しないので、

�@力学的エネルギーだけでなく仕事まで加えると一定であることから式を立てる
�A等加速度運動の公式から式を立てる

これらのどちらかの考え方をします。
等加速度運動よりも、エネルギー＋仕事の方が式が簡単になることが多いので、エネルギーを習った後は�@の方法で解くのがノーマルだと思います。ここでもエネルギー＋仕事でやっていきます。

質量は書かれていないのでｍとして、斜面の下端にあるときは、初速度ｖ0だから、最初の運動エネルギーＫ0は、
Ｋ0＝(１／２)ｍ(ｖ0)^2

下端を高さの基準面とすれば、最初の位置エネルギーはＵ0＝０

ですね。つまり、最初の力学的エネルギーはＫ0＋Ｕ0＝(１／２)ｍ(ｖ0)^2です。


続いて、最高点(highest point)について考えます。

最高点では速度は０になっているはずなので、Ｋh＝０

最高点に達したとき斜面上をｌ進んでいて、傾角はθなので、そのときの高さはｌｓｉｎθです。
よって、最高点での位置エネルギーはＵh＝ｍｇ・ｌｓｉｎθ

最高点に達するまでに物体は摩擦力によって仕事をされています。
摩擦力はＦ＝μＮで、斜面の傾角はθなので、重力の斜面に対して垂直な成分が垂直抗力Ｎだから、Ｎ＝ｍｇｃｏｓθとなります。
よって、摩擦力はＦ＝μ'・ｍｇｃｏｓθです。
仕事Ｗ＝Ｆｌなので、Ｗ＝μ'・ｍｇｌｃｏｓθで、この仕事の分だけ力学的エネルギーが減少しているから、仕事を加えればエネルギーが保存すると考えられます。

Ｋ0＋Ｕ0＝Ｋh＋Ｕh＋Ｗ
(１／２)ｍ(ｖ0)^2＋０＝０＋ｍｇｌｓｉｎθ＋μ'ｍｇｌｃｏｓθ

あとは計算です。
まずは両辺を２倍して、ｍで割ると、

(ｖ0)^2＝２ｇｌｓｉｎθ＋μ'２ｇｌｃｏｓθ

両辺を入れ替えて２ｇｌでくくると、

２ｇｌ(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)＝(ｖ0)^2

さらに、両辺を２ｇ(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)で割って、

ｌ＝(ｖ0)^2／２ｇ(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)


次の問題→物体が下端まで戻ってきたときの速さ


◆関連問題・項目
斜面の最下点から斜面を滑り上がる物体が最高点に達する条件
力、エネルギーまとめ


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