高校物理「力学」下端まで戻ってきたときの速さ

高校物理「力学」下端まで戻ってきたときの速さ

◆問題

傾角θのあらい斜面の下端から、物体を斜面に沿って初速ｖ0で滑り上がらせた。物体と斜面との間の摩擦係数をμ'，重力加速度の大きさをｇとして次の問いに答えよ。

(1) 斜面下端から物体が達する最高点までの斜面上の距離ｌを求めよ。

(2) 物体が最高点に達したあと、下端まで滑り落ちてきたときの物体の速さをｖ0を用いて表せ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1)で、物体が最高点に達するまでに摩擦力がした仕事は、Ｗ＝μ'・ｍｇｌｃｏｓθであることがわかりました。
行きも帰りも、重力は変化しないので垂直抗力は同じだから摩擦力は変化せず、距離も変化しません。
ということは、往復で摩擦力がした仕事の合計は、２Ｗ＝２μ'・ｍｇｌｃｏｓθとなります。

この仕事を加えればエネルギー保存が成り立つということができるので、滑り落ちてきたときの速さをｖとすると、

(１／２)ｍ(ｖ0)^2＝(１／２)ｍ(ｖ)^2＋２μ'ｍｇｌｃｏｓθ

という式が成り立ちます。
式ができたなら計算してみましょう！

まずは両辺を２倍し、ｍで割って、

(ｖ0)^2＝ｖ^2＋４μ'ｇｌｃｏｓθ

４μ'ｇｌｃｏｓθを移項して、両辺を入れ替えると、

ｖ^2＝(ｖ0)^2−４μ'ｇｌｃｏｓθ

(1)より、ｌ＝(ｖ0)^2／２ｇ(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)も代入すると、

ｖ^2＝(ｖ0)^2−４μ'ｇｃｏｓθ・(ｖ0)^2／２ｇ(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)

ちょっと複雑な式ですが、あとは計算です！

　　＝(ｖ0)^2{１−２μ'ｃｏｓθ／(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)
　　＝(ｖ0)^2{(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)／(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)−２μ'ｃｏｓθ／(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)}
　　＝(ｖ0)^2{(ｓｉｎθ−μ'ｃｏｓθ)／(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)}

両辺の平方根をとって、

ｖ＝ｖ0・√{(ｓｉｎθ−μ'ｃｏｓθ)／(ｓｉｎθ＋μ'ｃｏｓθ)}


前の問題→最高点までの距離ｌ


◆関連問題・項目
斜面の最下点から斜面を滑り上がる物体が最高点に達する条件
力、エネルギーまとめ


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