高校数学「数列」「等差と等比の積」(２ｎ−１)・３n-1

高校数学「数列」「等差と等比の積」(２ｎ−１)・３^n-1

◆問題
次の数列の和Ｓnを求めよ。
Ｓn＝１・１＋３・３＋５・３²＋７・３³＋……＋(２ｎ−１)・３^n-1


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◆解答解説
このような等差数列と等比数列の積の形の数列の和を求めるときは、「公比を掛けて１個ずらして引く」ことをします。

Ｓn＝１・１＋３・３＋５・３²＋７・３³＋……＋(２ｎ−１)・３^n-1

は、全ての項が(等差数列)×(等比数列)の形になっています。
等差数列の部分は、１，３，５，７，…
等比数列の部分は、１，３，３²，３³，…
となっていますね。
これらのうち、等比数列の方の公比は３なので、Ｓnに３をかけると、

３Ｓn＝１・３＋３・３²＋５・３³＋７・３⁴＋……＋(２ｎ−３)・３^n-1＋(２ｎ−１)・３ⁿ

このように書くことができますね。
両辺に３を掛けたので、等比数列の部分の指数が１ずつ増えています。
これをＳnから引くと、式の大部分が等比数列になってしまいます。

　　　Ｓn＝１・１＋３・３＋５・３²＋７・３³＋……＋(２ｎ−１)・３^n-1
−）３Ｓn＝　　　　１・３＋３・３²＋５・３³＋７・３⁴＋……＋(２ｎ−３)・３^n-1＋(２ｎ−１)・３ⁿ
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
　−２Ｓn＝１・１＋２・３＋２・３²＋２・３³＋２・３⁴＋……＋２・３^n-1−(２ｎ−１)・３ⁿ

こうすると、赤色の部分は、初項が６，公比が３、項数がｎ−１の等比数列の和になっていますね。
だから、赤色の部分には等比数列の和の公式を普通に使って、

−２Ｓn＝１＋６(３^n-1−１)／(３−１)−(２ｎ−１)・３ⁿ
−２Ｓn＝１＋３・(３^n-1−１)−(２ｎ−１)・３ⁿ
−２Ｓn＝１＋３ⁿ−３−２ｎ・３ⁿ＋３ⁿ

あとはまとめて両辺を−２で割ります。

−２Ｓn＝２・３ⁿ−２ｎ・３ⁿ−２
　　Ｓn＝−３ⁿ＋ｎ・３ⁿ＋１
　　Ｓn＝３ⁿ・(ｎ−１)＋１

◆関連問題
数列１・３，２・４，３・５，・・・の初項から第ｎ項までの数列の和Ｓnを求めよ。
数列まとめ


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