【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年第１回共通テスト数２Ｂより
第１問
[1]
(1) 次の問題Ａについて考えよう。
[問題Ａ] 関数ｙ＝ｓｉｎθ＋√３・ｃｏｓθ(０≦θ≦π／２)の最大値を求めよ。
ｓｉｎ(π／[ア])＝√３／２，ｃｏｓ(π／[ア])＝１／２
であるから、三角関数の合成により
ｙ＝[イ]ｓｉｎ(θ＋π／[ア])
と変形できる。よって、ｙはθ＝π／[ウ]で最大値[エ]をとる。
(2) ｐを定数とし、次の問題Ｂについて考えよう。
[問題Ｂ] 関数ｙ＝ｓｉｎθ＋ｐｃｏｓθ(０≦θ≦π／２)の最大値を求めよ。
(i) ｐ＝０のとき、ｙはθ＝π／[オ]で最大値[カ]をとる。
(ii) ｐ＞０のときは、加法定理
ｃｏｓ(θ－α)＝ｃｏｓθｃｏｓα＋ｓｉｎθｓｉｎα
を用いると
ｙ＝ｓｉｎθ＋ｐｃｏｓθ＝√[キ]・ｃｏｓ(θ－α)
と表すことができる。ただし、αは
ｓｉｎα＝[ク]／√[キ]，ｃｏｓα＝[ケ]／√[キ]，０＜α＜π／２
を満たすものとする。このとき、ｙはθ＝[コ]で最大値√[サ]をとる。
(iii) ｐ＜０のとき、ｙはθ＝[シ]で最大値[ス]をとる。
[キ]～[ケ]，[サ]，[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
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｜{0} －１ {1} １ {2} －ｐ ｜
｜{3} ｐ {4} １－ｐ {5} １＋ｐ ｜
｜{6} －ｐ^2 {7} ｐ^2 {8} １－ｐ^2 ｜
｜{9} １＋ｐ^2 {a} (１－ｐ)^2 {b} (１＋ｐ)^2｜
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[コ]，[シ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
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｜{0} ０ {1} α {2} π／２ ｜
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※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 横がａ，縦がｂのときのなす角がα
◆２ １８０°＝π
(以下略)
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■ 解説
◆１ 横がａ，縦がｂのときのなす角がα
共通テスト数学２Ｂ第１問[1]は、三角関数の問題でした。
まず(1)は三角関数の合成が主なポイントです。
三角関数の合成は、ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθのように、サインとコサインが
ともに１次式のとき、√(ａ^2＋ｂ^2)ｓｉｎ(θ＋α)の形に変形することです。
サインの加法定理の逆から導かれた式が「三角関数の合成」です。
公式としては
★ ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθ＝√(ａ^2＋ｂ^2)ｓｉｎ(θ＋α)
となります。
このときのαは、「横がａ，縦がｂ，斜辺が√(ａ^2＋ｂ^2)の直角三角形のときの
左下の角」です。
この式を利用することを頭にいれながら、問題を解いていきましょう！
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◆２ １８０°＝π
まず最初は、
「ｓｉｎ(π／[ア])＝√３／２，ｃｏｓ(π／[ア])＝１／２」
の[ア]を求める問題です。
サインが√３／２，コサインが１／２になるときの角度は、６０°ですね。
ラジアンに直すと・・・
(以下略)
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ラベル：数学
