■ 問題
「定義に従って次の関数を微分せよ。ｆ(ｘ)＝１／ｘ^2」
このときは何をすれば良いでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① 定義に従わずに解いちゃう
② (ｘ＋⊿ｘ)－ｘを計算する
③ ｆ(ｘ＋⊿ｘ)－ｆ(ｘ)を計算する
④ ｌｉｍ{ｆ(ｘ＋Δｘ)－ｆ(ｘ)}／Δｘを計算する
このときは何をすればよいでしょうか？
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■ 選択肢の解答
④ ｌｉｍ{ｆ(ｘ＋Δｘ)－ｆ(ｘ)}／Δｘを計算する
実は「定義に従った微分」自体は数学２の範囲です(笑)
「２点間の距離が限りなく近い」つまり「⊿ｘ→０」のときの「平均変化率(＝接線の傾き)」を求めるのが「微分」です。
平均変化率は変化の割合なので、ｙの増加量／ｘの増加量で求めることができます。
ｘはｘからｘ＋⊿ｘまで増加するので、ｘの増加量は(ｘ＋⊿ｘ)－ｘ＝⊿ｘ、ｙはｆ(ｘ)からｆ(ｘ＋⊿ｘ)まで増加するので、ｙの増加量はｆ(ｘ＋⊿ｘ)－ｆ(ｘ)となります。これらを単純に分母と分子においた場合の極限が微分。というわけです。
■ 解答解説
ｆ(ｘ)＝１／ｘ^2をｌｉｍ[Δx→0][{ｆ(ｘ＋⊿ｘ)－ｆ(ｘ)}／⊿ｘ]に当てはめてみると
ｌｉｍ[Δx→0][{１／(ｘ＋⊿ｘ)^2－１／ｘ^2}／Δｘ]
このブログでは計算の途中経過は省略します。
＝－２／ｘ^3
この問題は次の書籍のP.21に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
ｘ^2＋３ｘ＋２を定義に従って微分せよ。
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ラベル：数学
