先日発売した数列の書籍から１問ご紹介します。
■ 問題
「 １，３，６，１０，１５，……
この数列{ａn}の一般項を求めよ。」
このときは何をすれば良いでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① 最初の２項を見ると２増加しているから、ｄ＝２の等差数列
② 第２項と第３項を比べると２倍だから、ｒ＝２の等比数列
③ 初項が１，第５項が１５で、１５倍だから・・・？あれ？
④ ２項間の差も比も一定でないので、それぞれの差を求めて式で表す
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■ 選択肢の解答
④ ２項間の差も比も一定でないので、それぞれの差を求めて式で表す
２項間の差が一定ならば等差数列です。２項間の比が一定ならば等比数列です。どちらも一定でないならば他の方法を採る必要があります。
そんなときはまず、それぞれの２項間の差を求めてみましょう！
ａ1 ａ2 ａ3 ａ4 ａ5
ａn：１，３，６，１０，１５，…
ｖ ｖ ｖ ｖ
ｂn： ２ ３ ４ ５
ｂ1 ｂ2 ｂ3 ｂ４
２項間の差を表す数列を階差数列といいます。この場合、２，３，４，５となっています。これはａ＝１，ｄ＝１の等差数列で、ｂn＝ｎ＋１となります。
そして、ａnとｂnの関係を確認していくと、ａ2＝ａ1＋ｂ1，ａ3＝ａ2＋ｂ2＝ａ1＋ｂ1＋ｂ2，ａ4＝ａ3＋ｂ3＝ａ1＋ｂ1＋ｂ2＋ｂ3，…となっているので、
要するに、ａnの一般項はａ1にｂnの和を足したものになる。そしてｂnの方はａnよりも必ず項数が１少なくなるので、
★ ａn＝ａ1＋Σ[k=1～n-1]ｂk
となるのですね！
■ 解答解説
ａ1＝１，階差数列の一般項はｂn＝ｎ＋１なので、
ａn＝ａ1＋Σ[k=1～n-1]ｂkにそれぞれ代入すると、
ａn＝１＋Σ[k=1～n-1](ｎ＋１)
＝１＋(ｎ－１)(ｎ－１＋１)／２＋(ｎ－１)・１ ←ｎにｎ－１を代入
＝１＋(ｎ^2－ｎ)／２＋ｎ－１
＝(ｎ^2＋ｎ)／２ ←通分して足した
この問題は次の書籍のP.33に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
等差数列
一般項
数列まとめ
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ラベル：数学
