先日発売した数列の書籍から１問ご紹介します。
■ 問題
「 一般項がａn＝ｎ・２^(n-1)で表される数列の初項から第ｎ項までの和Ｓnを求めよ。」
このときは最初にどうすれば良いでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① 等差数列と等比数列の積だから、等差数列の和の式と
等比数列の和の式を掛ける
② 一般項がわかっているからΣで書いて、当てはまる公式を探す
③ 初項からいくつかの項を並べて書いてみる
④ こんな問題見たことないので、パス！
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■ 選択肢の解答
③ 初項からいくつかの項を並べて書いてみる
ｎ・２^(n-1)を分解してみると、ｎは等差数列、２^(n-1)は等比数列です。このような、等差数列と等比数列の積の形の数列はΣの公式を適用できません。そんなときは、初心に戻って、まずは具体的に項を並べて書いてみると良いです。
１・１＋２・２＋３・２^2＋４・２^3＋……＋(ｎ－１)・２^(n-2)＋ｎ・２^(n-1)
具体的に書いてみると、当然この通りになりますね。まずはこのテの問題の場合は、このように書いてみることから始める。と覚えておくと良いです。
■ 解答解説
まず、それぞれの項を書いたら、次は「等比数列の公比を掛けて、１個ずらして引く」と考えます。
Ｓn＝１・１＋２・２＋３・２^2＋……＋(ｎ－１)・２^(n-2)＋ｎ・２^(n-1)
－）２Ｓn＝ １・２＋２・２^2＋３・２^3＋……＋(ｎ－１)・２^(n-1)＋ｎ・２^n
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
－Ｓn＝ １ ＋ ２ ＋ ２^2 ＋ ２^3＋……＋２^(n-2)＋２^(n-1)－ｎ・２^n
こうすると、右辺の－ｎ・２^n以外の部分が等比数列となるので、普通の公式を使うことができますね！等比数列の部分は初項１，公比２なので、
－Ｓn＝１・(２^n－１)／(２－１)－ｎ・２^n
＝２^n－１－ｎ・２^n
Ｓn＝ｎ・２^n－２^n＋１ ←両辺の符号を変えて順番を変えた
＝２^n・(ｎ－１)＋１ ←２^nでくくった
この問題は次の書籍のP.41に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
等差数列
等比数列
数列まとめ
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ラベル：数学
