先日発売した数列の書籍から１問ご紹介します。
■ 問題
「 自然数の列を次のように、第ｎ群にはｎ個の数が入るようにする。
１｜２，３｜４，５，６｜７，８，９，１０｜１１，……
このとき、第ｎ群の最初の項を求めよ。」
このときは、第ｎ群までの最初の項を取り出して数列とみなして解くことも
できますが、他にはどんな方法が可能でしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① 第１群から第(ｎ－１)群までに何個の数があるか求める
② 自然数の列を区切ると等比数列になるので、等比数列の公式を使う
③ 自然数の列は等差数列なので、普通に等差数列の公式を使う
④ どれでもない
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■ 選択肢の解答
① 第１群から第(ｎ－１)群までに何個の数があるか求める
第ｎ群の最初の項は、第(ｎ－１)群の最後の項の次の項ですね。だから、第(ｎ－１)群までに何個の数(項)があるかわかれば、それに１を足せばＯＫ！というわけです。
■ 解答解説
第ｎ群の最初の項を求めるには、第(ｎ－１)群までの項数を求める必要があります。「第ｎ群にはｎ個の数が入る」ので、第１群には１個の数が入り、第２群には２個の数が入り、第３群には３個、第４群には４個……となっていくので、第(ｎ－１)群までの項数は、１からｎ－１までの和になります。
つまり、第(ｎ－１)群までには、
Σ[k=1～n-1]ｋ＝(１／２)ｎ(ｎ－１)
だけの数があり、第(ｎ－１)群の最後の項は(１／２)ｎ(ｎ－１)であることがわかります。これに１を足したのが第ｎ群の最初の項なので、求める数は、
(１／２)ｎ(ｎ－１)＋１＝ｎ^2／２－ｎ／２＋１
これで終わりでも構いませんが、さらに(１／２)でくくると模範的です。
＝(１／２)(ｎ^2－ｎ＋２)
この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
群数列
数列まとめ
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ラベル：数学
