先日発売した数列の書籍から１問ご紹介します。
■ 問題
「 次のように定められた数列の一般項ａｎを求めよ。
ａ1＝－１，ａn+1＝ａn＋３ｎ (ｎ＝１，２，３，…)」
このときは、第ｎ群までの最初の項を取り出して数列とみなして解くことも
できますが、他にはどんな方法が可能でしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① 初項が－１，公差が３の等差数列
② 初項が－１，公差が３ｎの等差数列
③ 初項が－１，公比が３ｎの等比数列
④ 初項が－１，階差数列が３ｎ
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■ 選択肢の解答
④ 初項が－１，階差数列が３ｎ
ａn+1＝ａn＋３ｎは、第ｎ項に３ｎを足すと第ｎ＋１項になる。ことを意味します。次の項に行く度に３ｎを足し続ける。というわけです。足し続ける数は３ｎだから、項数によって段階的に変化します。つまり、これは階差数列を用いた数列を漸化式で表したものです。
■ 解答解説
この数列ａnは階差数列をｂn＝３ｎと考えて計算すればＯＫですね！
P.33にも掲載したように、ａn＝ａ1＋Σ[k=1～n-1]ｂkだから、
ａn＝－１＋Σ[k=1～n-1]３ｋ
＝－１＋３・(１／２)・(ｎ－１)・(ｎ－１＋１)
＝－１＋(３／２)ｎ(ｎ－１)
＝(３／２)ｎ^2－(３／２)ｎ－１
この問題は次の書籍のP.57に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
群数列
数列まとめ
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ラベル：数学
