先日発売した数列の書籍から１問ご紹介します。
■ 問題
「ａ1＝１，ａn+1＝ａn／３ａn＋４で定められる数列{ａn}の一般項を１／ａn＝ｂnのおきかえを利用して求めよ。」
おきかえを利用するためには、まずは与式を変形する必要があります。
どのような方針で変形すればいいでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① 分数だとわかりにくいので、まずは両辺に(３ａn＋４)を掛ける
②１／ａnの形にしなければいけないのだから、両辺を逆数にする
③ａn／(３ａn＋４)を約分して、１／(３＋４)とする
④１／ａn＝ｂnをａnについて解いて、与式に代入する
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■ 選択肢の解答
②１／ａnの形にしなければいけないのだから、両辺を逆数にする
この問題では、おきかえの形が指定されているので、それが活用できるように与式を変形します。
１／ａn＝ｂnにｎ＝ｎ＋１を代入すれば、ａn+1＝１／ｂn+1となります。さらに、
分子が定数なので、分子からａｎが消えるようにする必要があります。与式を逆数にすれば、右辺の分母がａnだけになるので、約分しやすくなる点に注目してください。
■ 解答解説
まずは与式の両辺を逆数にします。
１／ａn+1＝(３ａn＋４)／ａnとなるので、右辺を約分すると、(右辺)＝３＋(４／ａn)
ここで、１／ａn＝ｂnなので、１／ａn+1＝ｂn+1です。両辺それぞれ置き換えれば、
ｂn+1＝３＋４ｂnが得られます。
これはP.61でも取り上げた、「等差と等比の複合の漸化式」の形です。同様にやってみましょう！
ｂn+1＋１＝４(ｂn＋１)と変形して、ｂn＋１＝ｃnとすると、
ｃn+1＝４ｃnが得られます。
さらに、ｃ1＝ｂ1＋１＝１／ａ1＋１＝１＋１＝２だから、
ｃnは初項が２，公比が４の等比数列です。よって一般項は、ｃn＝２・４^(n-1)
ｂn＋１＝ｃnだから、ｂn＝２・４^(n-1)－１
そして、１／ａn＝ｂnだからａn＝１／ｂnなので、求める一般項は、
ａn＝１／{２・４^(n-1)－１}
この問題は次の書籍のP.65に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
等差と等比の複合の漸化式
数列まとめ
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ラベル：数学
