中学数学「因数分解」ｘの２乗に係数がついている場合

中学数学「因数分解」ｘの２乗に係数がついている場合

■　問題

次の式を因数分解せよ。

(1) ８１ａ^２−１６９ｂ^２

(2) ４ｘ²−２０ｘ＋２５

(3) ４ｘ²−２０ｘ−９６


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

ｘの２乗の項に係数がついている場合は、「ｘ^２＋ａｘ＋ｂ」の形の「かけてｂ，たしてａ」のパターンによる因数分解はできません。
そんなとき中学数学では、ほとんどの問題では、以下の３つのパターンで因数分解できます。


(1) ８１ａ^２−１６９ｂ^２

これは「２乗引く２乗の場合」に掲載した問題と全く同じです。

★「ａ^２−ｂ^２＝(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)」

「何かの２乗引く何かの２乗」の形のときは、この公式が使えます。

８１ａ^２＝(９ａ)^２，１６９ｂ^２＝(１３ｂ)^２なので、

８１ａ^２−１６９ｂ^２＝(９ａ)^２−(１３ｂ)^２
　　　　　　　　＝(９ａ＋１３ｂ)(９ａ−１３ｂ)


(2) ４ｘ²−２０ｘ＋２５

この場合は、★「ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２」の公式で因数分解できます。

ａ＝２ｘ，ｂ＝−５と考えると、

４ｘ²−２０ｘ＋２５＝(２ｘ−５)^２


(3) ４ｘ²−２０ｘ−９６

この場合は、上の２つの公式が使える数字の組み合わせではないので、また別の方法を考えます。
式をよく見てみると、係数は全て同じ数４で割ることができると気づくはずです。気づくよう練習してください(笑)
「全部同じ数で割れる」ということは、「その数でくくれる」ので、まずは「共通因数でくくる場合」をやります。

　４ｘ²−２０ｘ−９６
＝４(ｘ^２−５ｘ−２４)

カッコの中身がｘ^２＋ａｘ＋ｂの形になったので、あとは普通に「かけてｂ，足してａ」の因数分解をすればＯＫです。

かけて−２４，たして−５の２つの数は、３と−８だから、

＝４(ｘ＋３)(ｘ−８)


◆関連問題
因数分解の手順
共通因数をくくる場合
公式による因数分解
２乗引く２乗の場合


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