先日発売した数列の書籍から１問ご紹介します。
■ 問題
「数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。ただし、ｎは自然数とする。
１＋４＋７＋……＋(３ｎ－２)＝(１／２)ｎ(３ｎ－１)」
このときはまずｎ＝１の場合に等式が成り立つことを確認し、次に、
ｎ＝ｋで成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１でも成り立つことを示します。
ｎ＝ｋ＋１でも成り立つことを示すには、まず何をすればいいでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① 両辺に(ｋ＋１)を足す
② 両辺に第(ｋ＋１)項を足す
③ 「１個ずらして引く」をやる
④ ａn＝ａ1＋Σ[k=1～n-1]ｂkをやる
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■ 選択肢の解答
② 両辺に第(ｋ＋１)項を足す
数学的帰納法を用いて式の証明をするときは、
[1]ｎ＝１のとき成り立つ。
[2]ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定するとｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ。
これら２つのことを言っていきます。これら２つの事が言えば、「ｎ＝１が成り立つならばｎ＝２も成り立つ。ｎ＝２が成り立つならｎ＝３も成り立つ。ｎ＝３が成り立つならｎ＝４も…」のように、次々と次の項が成り立つことが言えるので、全ての自然数について証明したことになります。
そのための代表的な方法が、第(ｋ＋１)項を両辺に足す。です。
・左辺には初項から第ｋ項までが書かれているので、第(ｋ＋１)項を足せば、初項から第(ｋ＋１)項までの和になります。
・右辺は第ｋ項までの和なので、第(ｋ＋１)項の値を加えて変形した結果、第(ｋ＋１) 項までの和の式が得られるはずです。
これらが言えれば、「ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ」ということができます。
■ 解答解説
[1] ｎ＝１のとき
(左辺)＝１，(右辺)＝(１／２)１・(３－１)＝１
よって成り立つ。
[2] ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定すると、
１＋４＋７＋……＋(３ｋ－２)＝(１／２)ｋ(３ｋ－１)
この式の両辺にに第(ｋ＋１)項すなわち、(３ｋ＋１)を加えると、
１＋４＋７＋……＋(３ｋ－２)＋(３ｋ＋１)＝(１／２)ｋ(３ｋ－１)＋(３ｋ＋１)
この式の右辺を計算すると、
(右辺)＝(３／２)ｋ^2－(１／２)ｋ＋３ｋ＋１
＝(３／２)ｋ^2＋(５／２)ｋ＋１
＝(１／２)(３ｋ^2＋５ｋ＋２) ←(１／２)でくくった
＝(１／２)(３ｋ＋２)(ｋ＋１) ←因数分解した
これはｎ＝ｋ＋１の場合の右辺なので、与式はｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ。
よって、与式は全ての自然数について成り立つ。
この問題は次の書籍のP.69に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
数列まとめ
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ラベル：数学
