■ 問題
(１＋ｘ)ｎの展開式を利用して、次の式を証明せよ。
nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋……＋nＣr＋……＋nＣn＝２ｎ
いわゆる二項定理を利用して考えます。
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■ 解答解説
(１＋ｘ)ｎを展開することを考えます。
ｘについての整式と捉えると、展開したら、定数項、１次の項、２次の項、…と並ぶはずですね。
二項定理を使って、それぞれの項の係数を考えれば、
定数項・・・nＣ0
１次の項・・・nＣ1
２次の項・・・nＣ2
このようになっていきます。
ここから、証明したい式の左辺は、(１＋ｘ)ｎの全ての項の係数であると推定できると思います。
係数を全て足したものだから、「(１＋ｘ)ｎにｘ＝１を代入したもの」と言っても同じです。
(１＋ｘ)ｎに、ｘ＝１を代入すると、
(１＋１)ｎ＝２ｎ
よって、nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋……＋nＣr＋……＋nＣn＝２ｎ
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ラベル：数学
