高校物理「重心」「切り取った立方体」重心の位置

高校物理「重心」「切り取った立方体」重心の位置

◆問題

一様な材質で作られた一辺の長さがＬの立方体が、なめらかで水平な床の上に置かれている。この立方体から、縦と横がｌで奥行きがＬの直方体を、床に接している１辺を含むように切り取り、残った立体をＡ，切り取った立体をＢとするとき、次の問いに答えよ。


　(立体Ａ，Ｂを真横から見た参考図)
　　Ａ
　┌───┐
　│　　　│　Ｂ
　│　　┌┘　┌┐
　└──┘　　└┘

(ご利用のフォントによっては図形が崩れますがご了承ください)


(1) 立体Ａの重心の位置は、左端からどれだけ右にあるか求めよ。


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◆解説

重心を求めるには、物体に働く重力を考えます。
重力は当然質量に比例するので、この立体Ａの質量について考える必要があります。
「密度は一様」と書いてあるので、体積と質量が比例し、つまりは、真横から見た場合の面積と質量が比例する。ということができます。

切り取る前の立方体の重心は当然、立体のちょうど真ん中ですが、立体Ｂを切り取った後の重心は、真ん中より少し斜め上に移動すると予想できると思います。
この立体Ａの重心の座標を(ｘG，ｙG)などとおいて、切り取った立体Ｂをもとの位置にはめ込んだら、重心は真ん中になる。と考えて式を立てることもできますが、この場合は、立体Ａを２つの直方体に分けてそれらが連結されていると考えた方が簡単です。

┌──┐┌┐
│　　│││
│　　│└┘
└──┘

このように２つの物体に分けると、それぞれのちょうど真ん中の点がそれぞれの重心になります。

立体Ａの左下を原点として、座標を考えると、

大きい方の直方体の重心の水平方向の位置は、(Ｌ−ｌ)／２
小さい方の直方体の重心の水平方向の位置は、Ｌ−ｌ＋ｌ／２＝Ｌ−ｌ／２

となります。

立体の質量は面積に比例するので、面積をそのまま質量とすれば、

大きい方の直方体の質量は、Ｌ(Ｌ−ｌ)
小さい方の直方体の質量は、ｌ(Ｌ−ｌ)

です。
これらを重心の公式に当てはめれば、求める重心の位置をｘGとすると、

ｘG＝{Ｌ(Ｌ−ｌ)・(Ｌ−ｌ)／２＋ｌ(Ｌ−ｌ)・(Ｌ−ｌ／２)}／{Ｌ(Ｌ−ｌ)＋ｌ(Ｌ−ｌ)}

という式を作ることができます。
全ての項に(Ｌ−ｌ)が入っているので、まずは(Ｌ−ｌ)で割ると、

ｘG＝{Ｌ・(Ｌ−ｌ)／２＋ｌ(Ｌ−ｌ／２)}／(Ｌ＋ｌ)

あとはできるだけ簡単にします。

　＝{Ｌ・(Ｌ−ｌ)＋ｌ(２Ｌ−ｌ)}／２(Ｌ＋ｌ)
　＝(Ｌ^2−ｌＬ＋２ｌＬ−ｌ^2)／２(Ｌ＋ｌ)
　＝(Ｌ^2＋ｌＬ−ｌ^2)／２(Ｌ＋ｌ)


次の問題→(2)Ａが倒れる条件


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