高校物理「重心」「切り取った立方体」倒れる条件

高校物理「重心」「切り取った立方体」倒れる条件

◆問題

一様な材質で作られた一辺の長さがＬの立方体が、なめらかで水平な床の上に置かれている。この立方体から、縦と横がｌで奥行きがＬの直方体を、床に接している１辺を含むように切り取り、残った立体をＡ，切り取った立体をＢとするとき、次の問いに答えよ。


　(立体Ａ，Ｂを真横から見た参考図)
　　Ａ
　┌───┐
　│　　　│　Ｂ
　│　　┌┘　┌┐
　└──┘　　└┘

(ご利用のフォントによっては図形が崩れますがご了承ください)


(1) 立体Ａの重心の位置は、左端からどれだけ右にあるか求めよ。

(2) 立体Ｂの１辺を大きくしていくと、ある値ｌ0をこえた瞬間に立体Ａは倒れた。ｌ0を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

物体が静止している(倒れない)ときは、力や力のモーメントがつり合っている。ということができます。
つまり逆に言えば、力または力のモーメントがつり合わなくなれば、物体が移動したり回転したり倒れたりする。というわけです。

倒れる瞬間がどんな様子かを考えると、立体Ａのへこんだ部分の角を中心に回転すると推測できますね。
この角のまわりの力のモーメントを考えると、倒れる瞬間は合計がゼロになります。

立体Ａにはたらく力は、重力と垂直抗力の２つで、垂直抗力は倒れる瞬間は回転の中心である角にはたらくから「うで」の長さはゼロでモーメントもゼロ。さらに、モーメントの合計がゼロということは、重力のモーメントもゼロです。重力のモーメントがゼロならば、重力も「うで」の長さがゼロなので、立体Ａの重心ｘGは回転の中心の角の真上にあることになります。

倒れる瞬間の立体Ｂの１辺がｌ0なので、ｘG＝Ｌ−ｌ0となります。

(1)で求めた立体Ａの重心は、ｘG＝(Ｌ^2＋ｌＬ−ｌ^2)／２(Ｌ＋ｌ)で、このときはｌ＝ｌ0です。
これらが等しいことから方程式を作って解くことができます。

Ｌ−ｌ₀＝(Ｌ^２＋ｌ₀Ｌ−ｌ₀^２)／２(Ｌ＋ｌ₀)

２(Ｌ＋ｌ₀)(Ｌ−ｌ₀)＝Ｌ^２＋ｌ₀Ｌ−ｌ₀^２
　　２(Ｌ^２−ｌ₀^２)＝Ｌ^２＋ｌ₀Ｌ−ｌ₀^２
　　　２Ｌ^２−２₀^２＝Ｌ^２＋ｌ₀Ｌ−ｌ₀^２
ｌ₀^２＋Ｌｌ₀−Ｌ^２＝０

これはｌ₀についての２次方程式と考えられるので、解の公式で解くと、

ｌ₀＝Ｌ・(−１±√５)／２

が得られます。
ｌ₀は長さなので、正の数だから、

ｌ₀＝Ｌ・(√５−１)／２


この問題の最初に戻る→(1)Ａの重心


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