高校物理「万有引力」高さｈまで上昇したときの初速度

高校物理「万有引力」高さｈまで上昇したときの初速度

◆問題

地球の表面から、初速度ｖ0で鉛直上方に物体Ａを打ち上げる。地球の半径をＲ，地表での重力加速度の大きさをｇとして、次の問いに答えよ。

(1) 物体Ａが、地表から高さｈの点まで上昇した後、地面に向かって落ち始めた。打ち上げの初速度ｖ0を求めよ。


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◆解説

人間が手でボールを投げた場合でも、地球から宇宙空間に物体を打ち出した場合でも、摩擦力等を無視すれば「力学的エネルギーの保存」が成り立ちます。

運動エネルギーと位置エネルギーをそれぞれＫ1，Ｋ2，Ｕ1，Ｕ2とすれば、

Ｋ1＋Ｕ1＝Ｋ2＋Ｕ2

ですね。

この場合は、打ち上げた瞬間の運動エネルギーと位置エネルギーがＫ1，Ｕ1で、地表からの高さｈでのそれらがＫ2，Ｕ2と考えて式を立てられそうです。

物体Ａの初速度はｖ0，質量は書いてないので普通にｍとして、Ｋ1＝(１／２)ｍ(ｖ0)^2です。
このときの位置は地球の表面上なので地球の中心からの高さは半径と同じくＲです。地球の質量は書かれていないので普通にＭとして、Ｕ1＝−Ｇ・Ｍｍ／Ｒです。

高さｈの点でのエネルギーをＫ2，Ｕ2とすると、
「高さｈの点まで上昇した」ので、高さｈの点での物体Ａの速度はゼロです。つまり、Ｋ2＝０です。
この点は、地球の中心からの距離は(Ｒ＋ｈ)です。つまり、Ｕ2＝−Ｇ・Ｍｍ／(Ｒ＋ｈ)です。

以上を力学的エネルギー保存の式に代入すると、

(１／２)ｍ(ｖ0)^2−Ｇ・Ｍｍ／Ｒ＝０−Ｇ・Ｍｍ／(Ｒ＋ｈ)

あとはｖ0について解けばＯＫですね！

まずは両辺に２／ｍを掛けると、

(ｖ0)^2−２ＧＭ／Ｒ＝−２ＧＭ／(Ｒ＋ｈ)

移項して計算していきます。

(ｖ0)^2＝２ＧＭ／Ｒ−２ＧＭ／(Ｒ＋ｈ)
　　　＝２ＧＭ{１／Ｒ−１／(Ｒ＋ｈ)}
　　　＝２ＧＭ[(Ｒ＋ｈ−Ｒ)／Ｒ(Ｒ＋ｈ)}
　　　＝２ＧＭ(ｈ／Ｒ(Ｒ＋ｈ)}
よって、ｖ0＝√{２ＧＭｈ／Ｒ(Ｒ＋ｈ)}

この問題では、問題文にはＧとＭも書かれていないので、これらも消去することを考えます。

物体Ａのはたらく重力はＷ＝ｍｇですが、万有引力定数Ｇを用いると、Ｗ＝Ｇ・Ｍｍ／Ｒ^2とも表せます。これらはどちらも物体Ａにはたらく重力を表しているので、イコールで結んで変形すると、

ｍｇ＝ＧＭｍ／Ｒ^2
　ｇ＝ＧＭ／Ｒ^2
ＧＭ＝ｇＲ^2

これをｖ0＝√{２ＧＭｈ／Ｒ(Ｒ＋ｈ)}に代入すれば、

ｖ0＝√{２ｇＲ^2／Ｒ(Ｒ＋ｈ)}
　　＝√{２ｇＲ／(Ｒ＋ｈ)}


次の問題→物体Ａが無限遠まで飛び去る条件


◆関連問題
人工衛星の力学的エネルギー


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