2021年06月03日

高校物理「万有引力」第2宇宙速度

高校物理「万有引力」第2宇宙速度

◆問題

地球の表面から、初速度v0で鉛直上方に物体Aを打ち上げる。地球の半径をR,地表での重力加速度の大きさをgとして、次の問いに答えよ。

(1) 物体Aが、地表から高さhの点まで上昇した後、地面に向かって落ち始めた。打ち上げの初速度v0を求めよ。

(2) 物体Aが、無限遠まで飛び去るために必要な最小の初速度を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1)で、「力学的エネルギーの保存」の法則から、

(1/2)m(v0)^2−G・Mm/R=0−G・Mm/(R+h)

という式が得られました。

万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準とするので、「無限遠まで飛び去るときの高さ」のときの位置エネルギーはゼロになります。

つまり、−G・Mm/(R+h)=0であり、力学的エネルギー保存の式の右辺はゼロになります。

ということは、

(1/2)m(v0)^2−G・Mm/R=0

ですね。

あとはこれをv0について解けばOKというわけです!

(1/2)m(v0)^2=G・Mm/R

両辺に2/mをかけて

(v0)^2=2GM/R

両辺の平方根をとれば、

v0=√(2GM/R)

さらに、(1)と同様に、GM=gR^2を代入して、

v0=√(2gR^2/R)
 =√(2gR)


というわけで、地上から打ち上げられた物体が無限遠まで飛び去るために必要な速さは√(2gR)であることがわかりました。
この速さを「第2宇宙速度」と呼びます。


前の問題→(1) 初速度を求める


◆関連問題
人工衛星の力学的エネルギー


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posted by えま at 21:00| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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