高校物理「万有引力」第２宇宙速度

高校物理「万有引力」第２宇宙速度

◆問題

地球の表面から、初速度ｖ0で鉛直上方に物体Ａを打ち上げる。地球の半径をＲ，地表での重力加速度の大きさをｇとして、次の問いに答えよ。

(1) 物体Ａが、地表から高さｈの点まで上昇した後、地面に向かって落ち始めた。打ち上げの初速度ｖ0を求めよ。

(2) 物体Ａが、無限遠まで飛び去るために必要な最小の初速度を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1)で、「力学的エネルギーの保存」の法則から、

(１／２)ｍ(ｖ0)^2−Ｇ・Ｍｍ／Ｒ＝０−Ｇ・Ｍｍ／(Ｒ＋ｈ)

という式が得られました。

万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準とするので、「無限遠まで飛び去るときの高さ」のときの位置エネルギーはゼロになります。

つまり、−Ｇ・Ｍｍ／(Ｒ＋ｈ)＝０であり、力学的エネルギー保存の式の右辺はゼロになります。

ということは、

(１／２)ｍ(ｖ0)^2−Ｇ・Ｍｍ／Ｒ＝０

ですね。

あとはこれをｖ0について解けばＯＫというわけです！

(１／２)ｍ(ｖ0)^2＝Ｇ・Ｍｍ／Ｒ

両辺に２／ｍをかけて

(ｖ0)^2＝２ＧＭ／Ｒ

両辺の平方根をとれば、

ｖ0＝√(２ＧＭ／Ｒ)

さらに、(1)と同様に、ＧＭ＝ｇＲ^2を代入して、

ｖ0＝√(２ｇＲ^2／Ｒ)
　＝√(２ｇＲ)


というわけで、地上から打ち上げられた物体が無限遠まで飛び去るために必要な速さは√(２ｇＲ)であることがわかりました。
この速さを「第２宇宙速度」と呼びます。


前の問題→(1) 初速度を求める


◆関連問題
人工衛星の力学的エネルギー


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