高校物理「単振動」「等速円運動」Ｑの速度と加速度

高校物理「単振動」「等速円運動」Ｑの速度と加速度

◆問題

物体Ａがなめらかな水平面上の点Ｏを中心に、半径Ａ，角速度ωの等速円運動をしている。この物体Ａの運動を点Ｏの真上から見ることにする。
点Ｏを通るように南北方向にｘ軸をとり、点Ｏのｘ座標を０とする。ｘ＝０の点のうち、点Ｏの東側の点をＰ0とし、時刻ｔ＝０のとき物体Ａは点Ｐ0を円周方向の上向きに通過していったとする。

(1) 物体Ａが、時刻ｔ1に円周上のＰ0とｘ軸の間のある点Ｐ1まで移動していたとき、ｔ＝０からｔ1までの回転角θ1と周期Ｔを求めよ。

(2) Ｐ1からｘ軸に下ろした垂線の足を点Ｑとするとき、点Ｑのｘ座標を求めよ。

(3) 点Ｑにおける速度ｖ，加速度ａを求めよ。


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◆解説

点Ｑの速度は、物体Ａの、円周上の点Ｐ1での速度の円周方向の成分になります。

円周上での速度は、ｖ＝ｒωより、ｖ＝Ａωですね。

この速度は接線方向の速度なので、接線を引き、直角三角形を作ると、斜辺がＡωになります。
θは頂点Ｐの位置の角なので、求める速度ｖは、三角比を用いて、

ｖ＝Ａωｃｏｓθ＝Ａωｃｏｓωｔ


円運動の加速度は円の中心方向になります。
円周上での加速度はａ＝ｒω^2よりａ＝Ａω^2ですね。点Ｐ1をｘ軸に投影した点Ｑでは加速度は進行方向と反対向きなので、マイナスです。

これも同様に直角三角形を作って、三角比を用いると、

ａ＝−Ａω^2・ｓｉｎωｔ


次の問題→ａとｘ座標の関係式


ちなみに、ここで求めた式も、それぞれ公式としても覚えた方がよいものです。
この加速度の公式には必ずマイナスがつきますが、速度の方向と加速度の方向を考えると、必然的にマイナスが必要になります。
運動の方向に注意して場合分けして、円周上のどの位置にあってもマイナスが必要であることを確認しておくとよいと思います！


◆関連問題
鉛直ばね振り子

◆関連項目
等速円運動、角速度、周期、振動数、向心力
円運動まとめ


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