高校物理(用語)「単振動のエネルギー」

高校物理(用語)「単振動のエネルギー」

★単振動のエネルギー(energy in simple harmonic motion)


単振動のエネルギーの式Ｅ＝２π^２ｍｆ^２Ａ^２を導いてみましょう！
「難しい！無理！」と言う人も多いと思いますが、一つ一つ基本通りに表していけば、実はそれほど大変ではありません！？


まずは、位置エネルギーと運動エネルギーをそれぞれ求めます。


単振動の復元力を積分すると、復元力による位置エネルギーの式が得られます。

Ｆ＝Ｋｘを積分すれば、Ｕ＝(１／２)Ｋｘ^２
Ｆ＝ｍω^２ｘを積分すれば、Ｕ＝(１／２)ｍω^２ｘ^２

ですね。
Ｆは復元力、Ｋ＝ｍω^２は復元力の比例定数、ωは角振動数、ｘは変位です。

ｘ＝Ａｓｉｎωｔなのでさらに、Ｕ＝(１／２)ｍω^２(Ａｓｉｎωｔ)^２と表すことができます。


単振動をしている物体の運動エネルギーを考えると、

ｖ＝ＡωｃｏｓωｔをＫ＝(１／２)ｍｖ^２に代入して、Ｋ＝(１／２)ｍ・(Ａωｃｏｓωｔ)^２と表すことができます。


力学的エネルギーは、Ｅ＝Ｋ＋Ｕなので、単振動のエネルギーを当てはめれば、

Ｅ＝(１／２)ｍ・(Ａωｃｏｓωｔ)^２＋(１／２)ｍω^２・(Ａｓｉｎωｔ)^２

と表すことができます。
これを計算すると、冒頭に示した式を導くことができます。

まずは、(１／２)ｍω^２Ａ^２でくくると、

Ｅ＝(１／２)ｍω^２Ａ^２{(ｃｏｓωｔ)^２＋(ｓｉｎωｔ)^２}

三角比の相互関係より、(ｃｏｓωｔ)^２＋(ｓｉｎωｔ)^２＝１なので、

Ｅ＝(１／２)ｍω^２Ａ^２

さらに、Ｔ＝２π／ω，ｆ＝１／Ｔより、ω＝２πｆなので、これをωに代入すれば、

Ｅ＝(１／２)ｍ・(２πｆ)^２Ａ^２
　＝２π^２ｍｆ^２Ａ^２

となります。
やってみると意外と簡単ですよね！？(そうでもないかな・・・？)


振り子といえば、これが思い浮かぶ人も多いと思います。不良率が高いそうなので、購入は慎重に・・・



◆　関連項目
円運動・単振動まとめ


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