高校物理「単振動」「単振り子」周期の式
◆問題
長さl[m]の糸の一端に質量m[kg]の小球を取り付け他端を天井に固定してつるし、単振り子とした。
はじめは最下点Oで静止していた小球を、時刻t=0[s]に、水平方向の初速度v0[m/s]を与え、小球を運動させた。
重力加速度をg[m/s^2]として次の問いに答えよ。
(1) v0が充分に小さい場合、小球は単振動をする。この単振動の周期をl,gを用いて表せ。
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◆解説
単振動の周期なので、公式を覚えている人は、
T=2π√(l/g)
で大丈夫です。
大丈夫ですが、この解説では、この式を導くことをやってみたいと思います。
まず、T=2π/ωなので、ωを求めることを目指します。
単振動に関して、ωを含む式を思い出すと・・・
x=asinωt,v=Aωcosωt,F=−mω2x
などがありますね。
これらのうちのどれかの式を使って、ωを表すことができれば、Tも表すことができそうです。
単振り子の復元力は重力の接線方向の成分になるので、F=−mω2xとイコールで結ぶことができると考えられます。
まず、小球にはmgの重力がはたらきます。
振り子が一定の角度で振れているときの鉛直下向きとの角度をθとすると、重力の振動方向の成分はmgsinθとなります。
このmgsinθが、振り子を振動させる復元力となります。だから、
−mω2x=−mgsinθ
ω2x=gsinθ
という式が得られます。
直角三角形の辺の比から、sinθ=x/lなので、
ω2x=g・(x/l)
ω2=g/l
よって、ω=√(g/l)です。
T=2π/ωなので、T=2π√(l/g)
これで単振動の周期の式を導くことができました。
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◆関連問題
鉛直ばね振り子
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2021年06月19日
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