高校物理「単振動」「単振り子」周期の式

高校物理「単振動」「単振り子」周期の式

◆問題

長さｌ[ｍ]の糸の一端に質量ｍ[ｋｇ]の小球を取り付け他端を天井に固定してつるし、単振り子とした。
はじめは最下点Ｏで静止していた小球を、時刻ｔ＝０[ｓ]に、水平方向の初速度ｖ0[ｍ／ｓ]を与え、小球を運動させた。
重力加速度をｇ[ｍ／ｓ^2]として次の問いに答えよ。

(1) ｖ0が充分に小さい場合、小球は単振動をする。この単振動の周期をｌ，ｇを用いて表せ。


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◆解説

単振動の周期なので、公式を覚えている人は、

Ｔ＝２π√(ｌ／ｇ)

で大丈夫です。

大丈夫ですが、この解説では、この式を導くことをやってみたいと思います。


まず、Ｔ＝２π／ωなので、ωを求めることを目指します。

単振動に関して、ωを含む式を思い出すと・・・

ｘ＝ａｓｉｎωｔ，ｖ＝Ａωｃｏｓωｔ，Ｆ＝−ｍω^２ｘ

などがありますね。
これらのうちのどれかの式を使って、ωを表すことができれば、Ｔも表すことができそうです。

単振り子の復元力は重力の接線方向の成分になるので、Ｆ＝−ｍω^２ｘとイコールで結ぶことができると考えられます。

まず、小球にはｍｇの重力がはたらきます。
振り子が一定の角度で振れているときの鉛直下向きとの角度をθとすると、重力の振動方向の成分はｍｇｓｉｎθとなります。

このｍｇｓｉｎθが、振り子を振動させる復元力となります。だから、

−ｍω^２ｘ＝−ｍｇｓｉｎθ
　　ω^２ｘ＝ｇｓｉｎθ

という式が得られます。
直角三角形の辺の比から、ｓｉｎθ＝ｘ／ｌなので、

ω^２ｘ＝ｇ・(ｘ／ｌ)
　ω^２＝ｇ／ｌ

よって、ω＝√(ｇ／ｌ)です。

Ｔ＝２π／ωなので、Ｔ＝２π√(ｌ／ｇ)

これで単振動の周期の式を導くことができました。


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◆関連問題
鉛直ばね振り子


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