高校物理「単振動」「単振り子」θ＝６０°が最高点のとき

高校物理「単振動」「単振り子」θ＝６０°が最高点のとき

◆問題

長さｌ[ｍ]の糸の一端に質量ｍ[ｋｇ]の小球を取り付け他端を天井に固定してつるし、単振り子とした。
はじめは最下点Ｏで静止していた小球を、時刻ｔ＝０[ｓ]に、水平方向の初速度ｖ0[ｍ／ｓ]を与え、小球を運動させた。
糸と鉛直方向とのなす角をθ、重力加速度をｇ[ｍ／ｓ^2]として次の問いに答えよ。

(1) ｖ0が充分に小さい場合、小球は単振動をする。この単振動の周期をｌ，ｇを用いて表せ。

(2) 小球が初めて最下点Ｏに戻る時刻ｔ1[ｓ]を求めよ。

(3) 小球はθ＝６０°になるまで上昇し、その後下降を始めた。このときのｖ0をｇ，ｌで表せ。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

振り子の運動でも力学的エネルギーの保存が成り立ちます。

Ｋ1＋Ｕ1＝Ｋ2＋Ｕ2

ですね。
点Ｏを位置エネルギーの基準とし、最下点での運動エネルギー、位置エネルギーをそれぞれＫ1，Ｕ1、θ＝６０°でのそれらをＫ2，Ｕ2とすると、

Ｋ1＝(１／２)ｍｖ_０^２，Ｕ1＝０，Ｋ2＝０，Ｕ2＝ｍｇｈ

ですね。

Ｕ2のｈがまだわからないので、求めていきます。

振り子の振れ幅が大きくなると、だんだん小球の高さが上がって行くと言えますね。
小球の位置から最下点のときの糸に対して垂線を引くと、６０°９０°３０°の直角三角形ができます。
この直角三角形の辺の比から、ｈの値がわかる。というわけです。

θ＝６０°なので、三角比より、ｈ＝ｌ−ｌｃｏｓ６０°＝ｌ−(１／２)ｌ＝(１／２)ｌです。

以上を先ほどの力学的エネルギーの保存の式に代入すると、

(１／２)ｍｖ_０^２＋０＝０＋ｍｇ・(１／２)ｌ

両辺に２を掛けて、ｍで割ると

ｖ_０^２＝ｇｌ

両辺の平方根をとって、

ｖ_０＝√(ｇｌ)


この問題の最初に戻る→(1) ｖ0が充分に小さい場合、小球は単振動をする。この単振動の周期をｌ，ｇを用いて表せ。


◆関連問題
鉛直ばね振り子


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