高校数学「２次関数」「最大最小」ｙ＝ｘ^2−２ｘ＋３(−１≦ｘ≦３)

高校数学「２次関数」「最大最小」ｙ＝ｘ^２−２ｘ＋３(−１≦ｘ≦３)

■　問題

次の２次関数の−１≦ｘ≦３における最大値・最小値を求めよ。

ｙ＝ｘ^２−２ｘ＋３


解答解説はこのページ下です。


２次関数の問題の解き方・考え方の習得にご利用ください。



■　解答解説

基本的な最大最小の問題です。
まずはこのくらいの難易度の最大最小を素早く確実に答えられるよう練習しましょう！

２次関数の最大最小の問題を解くときは、まずは頂点を求めます。
頂点は増加と減少が切り替わる点なので、定義域内に頂点が含まれていれば、頂点が最大か最小になるからです。

頂点の座標を求めるには「平方完成」ですね！

ｙ＝ｘ^２−２ｘ−３
　＝(ｘ^２−２ｘ＋１−１)−３
　＝(ｘ−１)^２−１−３
　＝(ｘ−１)^２−４

よって、頂点の座標は(１，−４)となります。

定義域は−１≦ｘ≦３なので、頂点は定義域に含まれます。
ｘの２乗の係数は正の数なので、下に凸のグラフだから、頂点は最小値になります。

そして、頂点から遠い方が最大値です。

この場合は定義域の両端が頂点からの距離は同じなので、ｘ＝−１，３どちらも最大値となります。
例えばｘ＝３を代入すると、

ｙ＝３^２−２×３−３
　＝９−６−３
　＝０

最大値はゼロですね！

まとめると、

ｘ＝−１，３のとき最大値０
ｘ＝１のとき最小値−４


２次関数まとめ


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