高校物理「万有引力による位置エネルギー」計算での導き方

高校物理「万有引力による位置エネルギー」計算での導き方

万有引力による位置エネルギーの基本的なイメージ等についてはこちちらをご覧ください。

この記事では、万有引力による位置エネルギーの公式を、積分を使って計算で求めることを解説します。

無限遠を基準としたときの、質量ｍ[ｋｇ]の物体の万有引力による位置エネルギーＵ[Ｊ]は、Ｇは万有引力定数、Ｍは地球の質量、ｒは地球の中心からの距離として、

Ｕ＝−Ｇ・Ｍｍ／ｒ

で表されます。

これは、万有引力の式

Ｆ＝Ｇ・ｍ1ｍ2／ｒ^2

のｍ1，ｍ2をＭ，ｍに置き換えて、

Ｆ＝Ｇ・Ｍｍ／ｒ^2

の積分で求めることができます。


地球の中心から無限遠までの距離をｘとすると、

Ｕ＝∫[r〜x](−Ｆ)ｄｒ

と表すことができます。どうしてこの式で表されるかは、いろいろな説明が可能ですが、例えば・・・

エネルギーは仕事と同じなので、ｒの位置からｘの位置まで物体を移動させるために必要な仕事の分だけ、物体の位置エネルギーは増加することになります。「仕事＝力×移動距離」だから、縦軸・横軸に力・距離をとったグラフの面積が仕事であり、エネルギーです。グラフの面積は数学２などでも習うように、積分で求めることができます。

というわけで、まず、「定積分でエネルギーを求めることができる」点がわかるかと思います。

そして符号のマイナスについて。

重力は地球の中心に向かう方向なので、上をプラスとすれば重力の符号はマイナスです。だから、この場合のＦはマイナスで表される。というわけです。

あと念のため、最後のｄｒについて。
普通はｄｘですが、万有引力の式はＧ，Ｍ，ｍは定数で、ｒについての関数だから、ｒについて積分するのでｄｒです。


あとは積分の計算ですね。

Ｆ＝Ｇ・Ｍｍ／ｒ^2だから、

Ｕ＝∫[r〜x](−Ｇ・Ｍｍ／ｒ^2)ｄｒ
　＝−Ｇ・Ｍｍ・∫[r〜x](１／ｒ^2)ｄｒ

難しく見えると思いますが、数学２の積分の範囲で充分計算できます。
１／ｒ^２＝ｒ^−２ですね。
積分は、「指数を１上げて、新しい指数の数で係数を割る」ので、これに当てはめると、もとの指数は−２だから新しい指数は−１です。係数を−１で割れば、

　＝−Ｇ・Ｍｍ・[−１／ｒ][r〜x]

このようになります。
あとは、ｘを代入したやつからｒを代入したやつを引くので、

　＝−Ｇ・Ｍｍ・{−１／ｘ−(−１／ｒ)}

さらに、「ｘは無限遠」だから、ｘの値は限りなく大きいので、１／ｘ≒０です。つまり−１／ｘの項は消えてしまってＯＫです。
というわけで、

Ｕ＝−Ｇ・Ｍｍ／ｒ

が得られました。

一回読んだだけではピンと来ない部分もあるかも知れません。
わかるまで何度か繰り返し読んでもらうと良いと思います。


勉強とか抜きにして、興味がある人には面白い本です。自分も読みました。



◆　関連項目
万有引力、万有引力による位置エネルギー
円運動・単振動・万有引力まとめ


江間淳の書籍はこちら
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