高校物理「単振動」２つの物体が接触しているとき�A

高校物理「単振動」２つの物体が接触しているとき�A

◆問題

水平でなめらかな床に対して垂直な壁が設置されている。ばね定数ｋのばねの一端をこの壁に固定し、他端に質量Ｍの物体Ａをつけ、なめらかな床の上を運動させることを考える。
このばねを自然長からａだけ縮め、質量ｍの物体Ｂを物体Ａと接触させて置き、手で押さえて静止させる。時刻ｔ＝０で静かに手を離すとき、次の問いに答えよ。

(1) 手を離すとまず物体Ａと物体Ｂは一体となった動き、ある瞬間から物体Ｂは離れて床の上を滑っていった。このときの、ばねの伸びを求めよ。

(2) 物体Ａと物体Ｂが離れる時刻を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1)でも求めたように、物体Ａと物体Ｂが離れるときのばねの伸びはゼロです。

だから、ばねの伸びがゼロのときの時刻を求めればよい。というわけです。


ａだけばねを縮めてから自然長になるまでの時間は、周期の１／４ですね。

１周期は、「縮んでいる状態→自然長→伸びている状態→自然長→縮んでいる状態」なので、縮んでいる状態から自然長までは１／４周期です。


ばね振り子の単振動の周期Ｔは以下の公式で求められます。

Ｔ＝２π√(ｍ／ｋ)

この問題では、最初に自然長になるまでは物体Ａと物体Ｂが一体となって動くので、質量は(Ｍ＋ｍ)ということができます。

つまりその間の周期は、Ｔ＝２π√{(Ｍ＋ｍ)／ｋ}となり、

１／４周期が求める時間になるので、

(１／４)×２π√{(Ｍ＋ｍ)／ｋ)＝(π／２)√{(Ｍ＋ｍ)／ｋ}

これが物体Ａと物体Ｂが離れる時刻となります。


◆関連項目
ばね定数ｋの鉛直ばね振り子
単振動まとめ


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