高校物理「単振動」２つの物体が接触しているとき�B

高校物理「単振動」２つの物体が接触しているとき�B

◆問題

水平でなめらかな床に対して垂直な壁が設置されている。ばね定数ｋのばねの一端をこの壁に固定し、他端に質量Ｍの物体Ａをつけ、なめらかな床の上を運動させることを考える。
このばねを自然長からａだけ縮め、質量ｍの物体Ｂを物体Ａと接触させて置き、手で押さえて静止させる。時刻ｔ＝０で静かに手を離すとき、次の問いに答えよ。

(1) 手を離すとまず物体Ａと物体Ｂは一体となった動き、ある瞬間から物体Ｂは離れて床の上を滑っていった。このときの、ばねの伸びを求めよ。

(2) 物体Ａと物体Ｂが離れる時刻を求めよ。

(3) (2)の後、物体Ｂの速度を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

床がなめらかなので、(2)の時刻以降は、物体Ｂは等速直線運動をします。
そして、摩擦力がないので、力学的エネルギーは保存します。

ということで、最初の状態の弾性力による位置エネルギーが自然長での運動エネルギーと一致すると考えることができます。

最初の状態の位置エネルギーはＵ＝(１／２)ｋｘ^2なので、この問題の場合は、

Ｕ＝(１／２)ｋａ^2

です。

自然長の位置までは物体Ａと物体Ｂは一体となって動くので、物体の質量は(Ｍ＋ｍ)です。
求める速度をｖとすると、

Ｋ＝(１／２)(Ｍ＋ｍ)ｖ^2

です。
これらが等しいので、

(１／２)(Ｍ＋ｍ)ｖ^2＝(１／２)ｋａ^2

両辺を２倍して、

(Ｍ＋ｍ)ｖ^2＝ｋａ^2

さらに、ｖについて解くと、

ｖ^2＝ｋａ^2／(Ｍ＋ｍ)
　ｖ＝√{ｋａ^2／(Ｍ＋ｍ)}
　　＝ａ√{ｋ／(Ｍ＋ｍ)}


◆関連項目
ばね定数ｋの鉛直ばね振り子
単振動まとめ


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