高校物理「単振動」２つの物体が接触しているとき�C

高校物理「単振動」２つの物体が接触しているとき�C

◆問題

水平でなめらかな床に対して垂直な壁が設置されている。ばね定数ｋのばねの一端をこの壁に固定し、他端に質量Ｍの物体Ａをつけ、なめらかな床の上を運動させることを考える。
このばねを自然長からａだけ縮め、質量ｍの物体Ｂを物体Ａと接触させて置き、手で押さえて静止させる。時刻ｔ＝０で静かに手を離すとき、次の問いに答えよ。

(1) 手を離すとまず物体Ａと物体Ｂは一体となった動き、ある瞬間から物体Ｂは離れて床の上を滑っていった。このときの、ばねの伸びを求めよ。

(2) 物体Ａと物体Ｂが離れる時刻を求めよ。

(3) (2)の後、物体Ｂの速度を求めよ。

(4) (2)の後、物体Ａは単振動をする。この単振動の振幅を求めよ。


この記事では(4)を解説します。


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◆解説

物体Ａと物体Ｂが離れた瞬間は、２つの物体の速さは同じなので、物体Ａの速さも(3)で求めたｖ＝ａ√{ｋ／(Ｍ＋ｍ)}です。

その瞬間以降は物体Ａは単振動をしますが、なめらかな床の上では単振動の力学的エネルギーも保存します。

物体Ａと物体Ｂが離れた瞬間はばねは自然長なので、弾性力による位置エネルギーはゼロです。
だからこのときの力学的エネルギーは、Ｋ＝(１／２)Ｍｖ^2＝(１／２)Ｍ・ａ^2・ｋ／(Ｍ＋ｍ)となります。

そして、変位が最大になるときは運動エネルギーはゼロです。そのときの変位をｘとすれば、Ｕ＝(１／２)ｋｘ^2ですね。

これらが等しいので、

(１／２)ｋｘ^2＝(１／２)Ｍ・ａ^2・ｋ／(Ｍ＋ｍ)

まず、両辺を２倍してｋで割ると、

ｘ^2＝Ｍ・ａ^2／(Ｍ＋ｍ)

さらに両辺の平方根をとって、

　ｘ＝ａ√{Ｍ／(Ｍ＋ｍ)}


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◆関連項目
ばね定数ｋの鉛直ばね振り子
単振動まとめ


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