高校物理「波動」「回折格子」λをｄ，ｌ，ｘで表す

高校物理「波動」「回折格子」λをｄ，ｌ，ｘで表す

◆問題

格子定数がｄの回折格子に、単色光を垂直に入射させ、距離ｌ離れたスクリーンに見られる明線を観察した。最も明るい明線とその隣の明線との間隔をｘ，最も明るい明線とその隣の明線のなす角をθとして、入射光の波長λを、ｄ，ｌ，ｘで表せ。ただし、θは充分に小さいものとする。


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◆解説

平面ガラスに平行で等間隔のすじを多数つけたものを「回折格子」といいます。

すじの部分は乱反射して光を通さず、すじとすじの間を光が通過して、回折して互いに干渉するため、スクリーン等に明線が映ります。

このすじの間隔を格子定数といい、この問題では格子定数はｄです。

明線は複数の光波が干渉し合って「強め合う条件」を満たすところです。

波が強め合う条件は、「経路差が半波長の偶数倍」つまり「経路差が波長の整数倍」です。

「最も明るい明線」と「その隣の明線」は、θだけ角度がずれているので、その分だけの経路差があることになります。
「経路差」が「波長の整数倍(つまりｍλ)」ですね。


回折格子の隣り合うすじとすじの間を拡大して見てみると、斜辺がｄの直角三角形ができます。
この直角三角形の一番短い辺が経路差になり、斜辺がｄ，角度がθなので、経路差はｄｓｉｎθとなります。

強め合う条件だから、ｄｓｉｎθ＝ｍλとなります。


この問題では、「波長λを、ｄ，ｌ，ｘを用いて表せ」と言っているので、ｓｉｎθも何とかしなければなりません。

「θは充分に小さい」ので、ｓｉｎθ＝ｔａｎθと近似することができます。

回折格子とスクリーンの間にできる直角三角形を考えると、ｔａｎθ＝ｘ／ｌとなります。

ｔａｎθ＝ｓｉｎθだから、ｓｉｎθ＝ｘ／ｌとすることができます。
これをｄｓｉｎθ＝ｍλに代入して、

ｄ・(ｘ／ｌ)＝ｍλ

そして、ｘは最も明るい明線とその隣の明線なので、ｍ＝１を代入して、

ｄｘ／ｌ＝λ

λ＝ｄｘ／ｌ


波動まとめ


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