2021年09月21日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学1A第2問[1]

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト数学1A第2問[1]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


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■ 問題

2021年共通テスト数1Aより

第2問

[1] 陸上競技の短距離100m走では、100m走るのにかかる時間(以下、タイム
と呼ぶ)は、1歩あたりの進む距離(以下、ストライドと呼ぶ)と1秒あたりの歩数
(以下、ピッチと呼ぶ)に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で
与えられる。

  ストライド(m/歩)=100(m)/100mを走るのにかかった歩数(歩)
  ピッチ(歩/秒)=100mを走るのにかかった歩数(歩)/タイム(秒)

ただし、100mを走るのにかかった歩数は、最後の1歩がゴールラインをまたぐ
こともあるので、小数で表される。以下、単位は必要のない限り省略する。
 例えば、タイムが10.81で、そのときの歩数が48.5であったとき、ストライドは
100/48.5より約2.06、ピッチは48.5/10.81より約4.49である。

 なお、小数の形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、指定された桁数
の一つ下の桁を四捨五入して答えよ。また、必要に応じて、指定された桁まで{0}に
マークせよ。

(1) ストライドをx,ピッチをzとおく。ピッチは1秒あたりの歩数、ストライド
は1歩あたりの進む距離なので、1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は、xと
zを用いて[ア](m/秒)と表される。
 これより、タイムと、ストライド、ピッチとの関係は

  タイム=100/[ア] ……{1}

と表されるので、[ア]が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし、タイム
がよくなるとはタイムの値が小さくなることである。

[ア]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――
|{0} x+z     {1} z−x     {2} xz    |
|{3} (x+z)/2  {4} (z−x)/2  {5} xz/2  |
―――――――――――――――――――――――――――――


(2) 男子短距離100m走の選手である太郎さんは{1}に着目して、タイムが最も
よくなるストライドとピッチを考えることにした。
 次の表は太郎さんが100mを3回走ったときのストライドとピッチのデータで
ある。

――――――――――――――――――
|     |1回目|2回目|3回目|
|ストライド| 2.05 | 2.10 | 2.15 |
| ピッチ | 4.70 | 4.60 | 4.50 |
――――――――――――――――――

 また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、
ストライドの最大値は2.40、ピッチの最大値は4.80である。
 太郎さんは、上の表から、ストライドが0.05大きくなるとピッチが0.1小さくなる
という関係があると考えて、ピッチがストライドの1次関数として表されると仮定
した。このとき、ピッチzはストライドxを用いて

  z=[イウ]x+[エオ]/5 ……{2}

と表される。
 {2}が太郎さんのストライドの最大値2.40とピッチの最大値4.80まで成り立つと
仮定すると、xの値の範囲は次のようになる。

  [カ].[キク]≦x≦2.40

 y=[ア]とおく。{2}をy=[ア]に代入することにより、yをxの関数として
表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求める
ためには、[カ].[キク]≦x≦2.40の範囲でyの値を最大にするxの値を見つければ
よい。このとき、yの値が最大になるのはx=[ケ].[コサ]のときである。
 よって太郎さんのタイムが最もよくなるのは、ストライドが[ケ].[コサ]のとき
であり、このとき、ピッチは[シ].[スセ]である。また、このときの太郎さんの
タイムは、{1}により[ソ]である。

[ソ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。

―――――――――――――――――――
|{0} 9.68  {1} 9.97  {2} 10.09 |
|{3} 10.33  {4} 10.42  {5} 10.55 |
―――――――――――――――――――


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 ストライドとピッチの意味
 ◆2 1秒あたりz歩進み、1歩あたりxm進む
 ◆3 1次関数だから2点の値を代入

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 1秒あたりz歩進み、1歩あたりxm進む

それでは(1)の問題です。

「ストライドをx,ピッチをz」とおいて、平均の速度を求めます。

1秒あたりz歩進み、1歩あたりxm進むので、

z歩進めば、xmのz倍進むのだから、

1秒あたりxzm進む。

ということがわかります。

よって、[ア]=2


さらに、「タイム=100/xz」ですね。

速さ=xzの値が大きいほど100/xzの値は小さくなる。すなわち、タイムが
良くなる。わけです。


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 ◆3 1次関数だから2点の値を代入

次は(2)です。

まずはストライドとピッチの関係を1次関数とみなして、式で表します。

表の数値を1次関数の標準形の式に代入します。
2点を通る直線の式は、この形で表されます。

★ y−y1={(y2−y1)/(x2−x1)}(x−x1)

例えば、これに1回目と2回目の数値を当てはめると、


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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