【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年センター試験数２Ｂより
第２問
(1) 座標平面上で、次の二つの２次関数のグラフについて考える。
ｙ＝３ｘ^2＋２ｘ＋３ ……{1}
ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ＋３ ……{2}
{1}, {2}の２次関数のグラフには次の[共通点]がある。
― 共通点 ―――――――――――――――――――――――――
｜・ｙ軸との交点のｙ座標は[ア]である。 ｜
｜・ｙ軸との交点における接線の方程式はｙ＝[イ]ｘ＋[ウ]である。｜
―――――――――――――――――――――――――――――――
次の{0}〜{5}の２次関数のグラフのうち、ｙ軸との交点における接線の方程式が
ｙ＝[イ]ｘ＋[ウ]となるものは[エ]である。
[エ]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} ｙ＝３ｘ^2−２ｘ−３ {1} ｙ＝−３ｘ^2＋２ｘ−３ ｜
｜{2} ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ−３ {3} ｙ＝２ｘ^2−２ｘ＋３ ｜
｜{4} ｙ＝−ｘ^2＋２ｘ＋３ {5} ｙ＝−ｘ^2−２ｘ＋３ ｜
―――――――――――――――――――――――――――――
ａ，ｂ，ｃを０でない実数とする。
曲線ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ上の点(０，[オ])における接線をｌとすると、その
方程式はｙ＝[カ]ｘ＋[キ]である。
接線ｌとｘ軸との交点のｘ座標は[クケ]／[コ]である。
ａ，ｂ，ｃが正の実数であるとき、曲線ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃと接線ｌおよび
直線ｘ＝[クケ]／[コ]で囲まれた図形の面積をＳとすると
Ｓ＝(ａｃ^[サ])／([シ]ｂ^[ス]) ……{3}
である。
{3}において、ａ＝１とし、Ｓの値が一定となるように正の実数ｂ，ｃの値を変化
させる。このときｂとｃの関係を表すグラフの概形は[セ]である。
[セ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。
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(2) 座標平面上で、次の三つの３次関数のグラフについて考える。
ｙ＝４ｘ^3＋２ｘ^2＋３ｘ＋５ ……{4}
ｙ＝−２ｘ^3＋７ｘ^2＋３ｘ＋５ ……{5}
ｙ＝５ｘ^3−ｘ^2＋３ｘ＋５ ……{6}
{4}，{5}，{6}の３次関数のグラフには次の[共通点]がある。
――共通点――――――――――――――――――――――――――
｜・ｙ軸との交点のｙ座標は[ソ]である。 ｜
｜・ｙ軸との交点における接線の方程式はｙ＝[タ]ｘ＋[チ]である。｜
―――――――――――――――――――――――――――――――
ａ，ｂ，ｃ，ｄを０でない実数とする。
曲線ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ上の点(０，[ツ])における接線の方程式は
ｙ＝[テ]ｘ＋[ト]である。
次にｆ(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ，ｇ(ｘ)＝[テ]ｘ＋[ト]とし、
ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)について考える。
ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)とおく。ａ，ｂ，ｃ，ｄが正の実数であるとき、
ｙ＝ｈ(ｘ)のグラフの概形は[ナ]である。
ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとｙ＝ｇ(ｘ)のグラフの共有点のｘ座標は[ニヌ]／[ネ]と
[ノ]である。また、ｘが[ニヌ]／[ネ]と[ノ]の間を動くとき、|ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)|の
値が最大となるのは、ｘ＝[ハヒフ]／[ヘホ]のときである。
[ナ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。
(図はここでは省略します)
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ 積分は微分の逆
◆４ ｙ軸上はｘ＝０
◆５ 接線なら微分！導関数は傾きを表す
(以下略)
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■ 解説
◆１〜３は省略します。
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◆４ ｙ軸上はｘ＝０
では最初の設問です。
ｙ＝３ｘ^2＋２ｘ＋３ ……{1}
ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ＋３ ……{2}
という２つの２次関数が登場し、これらの共通点を考えます。
まずは「ｙ軸との交点のｙ座標」を聞いています。
ｙ軸は原点を通る縦の直線なので、関数の種類にかかわらず「ｘ＝０」ですね。
ｘ＝０がわかっているのだから、{1}, {2}の式に代入すると、どちらに入れても
ｙ＝３となります。
よって、[ア]＝３
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◆５ 接線なら微分！導関数は傾きを表す
続いて、「ｙ軸との交点における接線の方程式」を求めます。
２つの２次関数の共通点なので、どちらでやっても同じ式になるはずですね。
だから、なるべく簡単な方で計算していくとよいです。
この場合は、どっちでもほぼ変わりませんが・・・
(以下略)
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ラベル：数学
