中学数学「２次方程式」解の公式

中学数学「２次方程式」解の公式

どんな２次方程式でも正しく代入して正しく計算すれば、解ける公式が「２次方程式の解の公式」です。

２次方程式ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の公式はコレです。



中学数学としては難しい公式ですが、とてもよく使う公式なので、

「エックスイコール２ａ分のマイナスｂプラスマイナスルートｂ２乗マイナス４ａｃ」

と呪文のように唱えて覚えて、何度も代入して計算する練習をする必要があります。

この記事では、この解の公式を導いてみます。
実は、ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０を変形しただけです。

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０

まずはｘを含む項をａでくくります。

ａ{ｘ²＋(ｂ／ａ)ｘ}＋ｃ＝０

中括弧の中身が(●●)²の形になるようにします。そのためには(ｂ／ａ)の半分の２乗が必要なので、

ａ{ｘ²＋(ｂ／ａ)ｘ＋(ｂ／２ａ)²−(ｂ／２ａ)²}＋ｃ＝０
ａ(ｘ＋ｂ／２ａ)²−ａ×(ｂ／２ａ)²＋ｃ＝０

定数項を右辺に移項し、両辺をａで割ります

ａ(ｘ＋ｂ／２ａ)²＝ａ×(ｂ／２ａ)²−ｃ
(ｘ＋ｂ／２ａ)²＝ｂ²／４ａ²−ｃ／ａ

ここで両辺の平方根をとると

ｘ＋ｂ／２ａ＝±√(ｂ²／４ａ²−ｃ／ａ)

ｂ／２ａを右辺に移項し整理すれば完成です！

ｘ＝−ｂ／２ａ±√(ｂ²／４ａ²−４ａｃ／４ａ²)
　＝−ｂ／２ａ±√{(ｂ²−４ａｃ)／４ａ²}
　＝−ｂ／２ａ±(１／２ａ)√(ｂ²−４ａｃ)
　＝{−ｂ±√(ｂ²−４ａｃ)}／２ａ

というわけで、



ですね！

念のため言っておきますが、中学数学では解の公式を導ける必要はありません。
途中に高校数学の「平方完成」を含みます。だから、高校生になってからできるようになれば問題ありません。
まずは教科書・ワーク、入試の過去問などの普通の問題を全て解けるようにしていきましょう！


◆関連問題
平方完成
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０
２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０


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