高校数学「極限」「三角関数」ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^2}

高校数学「極限」「三角関数」ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}

■　問題

ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}の極限を調べよ。


三角関数の極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。


解答解説はこのページ下です。


数学３はまずは、教科書＋基本問題集で練習するとよいです。
たとえばこんなのがおすすめです。



■　解答解説

コサインの極限は、そのままｘ＝０を入れてしまって大丈夫な場合もありますが、今回の問題では０／０になってしまうので、不適です。

やはり、「ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１」が使えるようにしなければならない。と考えます。

ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}

この式を変形してサインが出てくるようにするには、三角関数の相互関係より「１−(ｃｏｓｘ)^2＝(ｓｉｎｘ)^2」が使えるようにすればＯＫですね！
そのためには(１＋ｃｏｓｘ)をかけます。
もちろん、単に(１＋ｃｏｓｘ)をかけるのではなく、式の値が変わらないようにするために(１＋ｃｏｓｘ)／(１＋ｃｏｓｘ)をかけます。

　(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２
＝{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}・(１＋ｃｏｓｘ)／(１＋ｃｏｓｘ)
＝{(１−ｃｏｓ^２ｘ)／ｘ^２}・１／(１＋ｃｏｓｘ)
＝(ｓｉｎ^２ｘ／ｘ^２)・１／(１＋ｃｏｓｘ)

このように変形できます。だから、

ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}＝ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ^２ｘ／ｘ^２)・１／(１＋ｃｏｓｘ)

ですね。

ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１，ｌｉｍ[x→0]ｃｏｓｘ＝１だから、極限値は１・１／２＝１／２


関連項目
サインの極限
コサインの極限


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