高校数学３「微分積分まとめ」

高校数学３「微分積分まとめ」

高校数学３の微分積分に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

数学２の微分積分はこちら


◆　公式・用語・解き方

公式に従った微分
微分係数
導関数、第２次導関数、第ｎ次導関数
平均変化率
増減表の書き方
関数の増減
極値
接線の方程式の求め方
法線

関数の連続

積の微分法・商の微分法
合成関数の微分
三角関数の微分
指数関数の微分
対数関数の微分
対数微分法

積分の計算方法
不定積分
　三角関数の不定積分
　指数関数の不定積分

定積分

ｘ軸と曲線の間の面積の求め方
体積の求め方
曲線の長さ

置換積分法
部分積分法


◆　問題

●微分
定義に従った微分ｆ(ｘ)＝１／ｘ²
微分係数の定義を利用してｌｉｍ[x→1]{ｌｏｇｘ／(ｘ−１)}の極限値を求めよ。

ｆ(ｘ)／ｇ(ｘ)の導関数
ｆ(ｘ)＝ｘ²／(ｘ−１)の微分
ｙ＝２ｘ／√(５ｘ＋１)の微分

(２ｘ−１)⁵の微分
ｙ＝ｓｉｎ５ｘの微分
ｙ＝ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘの微分
ｙ＝ｓｉｎ³ｘの微分
ｙ＝ｔａｎ²３ｘの微分
ｙ＝ｌｏｇ\( \sqrt{1+x^2} \)の微分

ｙ＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3の微分

ｘ＝ｔ³＋２ｔ，ｙ＝ｔ³−ｔの導関数
ｘ＝ｓｉｎ²θ，ｙ＝ｃｏｓθの導関数

ｙ＝ｓｉｎｘの第ｎ次導関数

ｆ(ｘ)＝ｘ²(ｘ−１)³のとき、平均値の定理を用いて、ｆ'(ｃ)＝０となるｃが０と１の間に存在することを示せ。
ｘ＞０のとき、不等式ｌｏｇ(１＋ｘ)＜ｘを証明せよ。

●接線
ｙ＝ｘ³−ｘ²の接線
ｙ＝ｌｏｇｘ上の点(ｅ，１)における接線
２曲線ｙ＝(１／２)ｘ²＋ａとｙ＝１／ｘが接するようなａの値
２曲線ｙ＝ｘｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘの交点におけるそれぞれの接線は、互いに直交することを証明せよ。
楕円の接線・法線

●増減・極値・最大最小
ｆ(ｘ)＝(ｘ²＋ｘ＋２)／(ｘ＋２)の増減
ｆ(ｘ)＝４ｘ＋３＋１６／(ｘ−１)の極値
ｆ(ｘ)＝ｘ／ｅ^xの極値
ｆ(ｘ)＝ｘ＋√(２−ｘ²)の最大値・最小値

●微分の方程式への応用
３次方程式ｘ³−３ｘ²−９ｘ＋ａ＝０が異なる２個の正の解と１個の負の解をもつようなａの値の範囲
ｌｏｇｘ＝ａｘの実数解の個数
ｆ(ｘ)＝−２ｌｏｇｘ−(１／２)ｘ2＋３ｘ＝ａの実数解の個数


●積分
∫(３ｘ＋２)⁵ｄｘの不定積分
∫{４／(ｘ²−４)}ｄｘの不定積分

∫ｔａｎｘｄｘの不定積分
∫(１／ｓｉｎｘ)ｄｘの不定積分
∫ｓｉｎ²ｘｄｘの不定積分
∫ｓｉｎ⁵ｘ・ｃｏｓ²ｘｄｘの不定積分
∫ｓｉｎ４ｘｃｏｓ３ｘｄｘの不定積分
(ｃｏｓｘ−１／ｃｏｓｘ)²ｄｘの不定積分

∫ｌｏｇｘｄｘの不定積分
∫ｘ²・ｅ^xの不定積分
∫ｅ^x・ｓｉｎｘの不定積分

ｘ²ｃｏｓｘの不定積分、ｘ²・ｃｏｓｘの定積分

∫[1〜2]√(４−ｘ²)ｄｘの積分

●面積
ｙ＝ｘｅ^x，ｘ＝−１，ｘ＝１，ｘ軸で囲まれた図形の面積
ｙ＝ｌｏｇｘ＋１，ｙ＝１／ｘ，ｘ＝ｅで囲まれた図形の面積
ｙ＝ｘｅ^-x，ｙ＝ｘ／ｅ，ｙ＝ｘ／ｅ²で囲まれた図形の面積
ｘ＝ｓｉｎｙとｙ軸の間の面積
２曲線ｙ＝ａｘ²，ｙ＝ｌｏｇｘ＋１／２とｘ軸で囲まれた図形

●体積
ｙ＝２−ｘ²の回転体の体積
ｙ＝ｘ，ｙ＝−ｘ²＋４ｘで囲まれた図形の回転体の体積
ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１の回転体
ｙ＝ｘ²をｙ軸のまわりに回転した回転体

●曲線の長さ
ｘ＝ａ(θ−ｓｉｎθ)，ｙ＝ａ(１−ｃｏｓθ)


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