■ 問題
ｙ＝２ｘ／√(５ｘ＋１)を微分せよ。
分数なので、基本的には「商の微分法」を使います。
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
商の微分法に従って「ｙ＝ｆ(ｘ)／ｇ(ｘ)」の形で表される関数を微分すると、
ｙ'＝{ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)}／{ｇ(ｘ)}^2
となります。
ｙ＝２ｘ／√(５ｘ＋１)の場合、ｆ(ｘ)＝２ｘ，ｇ(ｘ)＝√(５ｘ＋１)とみなすことができますね。
やってみましょう！
ｙ'＝{(２ｘ)'・√(５ｘ＋１)－２ｘ・√(５ｘ＋１)'}／{√(５ｘ＋１)}^2
ここで、√(５ｘ＋１)'について少し解説しておきます。
ちゃんとやるためには合成関数の微分法が必要ですが、多くの人は、「次数を係数にして、中身の微分をかけて、次数を１下げる」と考えて計算します。つまり、
√(５ｘ＋１)＝(５ｘ＋１)^(1/2)だから、√(５ｘ＋１)'＝(１／２)(５ｘ＋１)'・(５ｘ＋１)^(-1/2)＝(１／２)・５・(５ｘ＋１)^(-1/2)です。
これをもとの式に戻すと、
＝{２√(５ｘ＋１)－２ｘ・(１／２)・５・(５ｘ＋１)^(-1/2)}／(５ｘ＋１)
あとは計算してなるべく簡単にします。
＝{２√(５ｘ＋１)－５ｘ／√(５ｘ＋１)}／(５ｘ＋１)
＝{２・(５ｘ＋１)－５ｘ}／(５ｘ＋１)√(５ｘ＋１)
＝(１０ｘ＋２－５ｘ)／(５ｘ＋１)√(５ｘ＋１)
＝(５ｘ＋２)／(５ｘ＋１)√(５ｘ＋１)
◆関連項目
商の微分法、合成関数の微分法
微分積分(数学３)まとめ
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