2021年11月04日

高校数学「微分」y=2x/√(5x+1)の微分

高校数学「微分」y=2x/√(5x+1)の微分

■ 問題

y=2x/√(5x+1)を微分せよ。


分数なので、基本的には「商の微分法」を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

商の微分法に従って「y=f(x)/g(x)」の形で表される関数を微分すると、

y'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

となります。

y=2x/√(5x+1)の場合、f(x)=2x,g(x)=√(5x+1)とみなすことができますね。
やってみましょう!

y'={(2x)'・√(5x+1)−2x・√(5x+1)'}/{√(5x+1)}^2

ここで、√(5x+1)'について少し解説しておきます。
ちゃんとやるためには合成関数の微分法が必要ですが、多くの人は、「次数を係数にして、中身の微分をかけて、次数を1下げる」と考えて計算します。つまり、

√(5x+1)=(5x+1)^(1/2)だから、√(5x+1)'=(1/2)(5x+1)'・(5x+1)^(-1/2)=(1/2)・5・(5x+1)^(-1/2)です。

これをもとの式に戻すと、

 ={2√(5x+1)−2x・(1/2)・5・(5x+1)^(-1/2)}/(5x+1)

あとは計算してなるべく簡単にします。

 ={2√(5x+1)−5x/√(5x+1)}/(5x+1)
 ={2・(5x+1)−5x}/(5x+1)√(5x+1)
 =(10x+2−5x)/(5x+1)√(5x+1)
 =(5x+2)/(5x+1)√(5x+1)


◆関連項目
商の微分法、合成関数の微分法
微分積分(数学3)まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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