★合成関数の微分法(chain rule of differentiation)
詳しい説明は、お手元の教科書や参考書を見てもらうとして、ここでは「ｙ＝(ａｘ＋ｂ)ｎの微分」を例に、実際にやってみたいと思います。
ｙ＝(ａｘ＋ｂ)ｎはそのままではちょっとややこしいので、ａｘ＋ｂ＝ｔとおいてみます。
すると、ｙ＝ｔｎと書き換えることができます。
これを微分すると、ｙ'＝ｎｔｎ－１ですね。
あとはｔをａｘ＋ｂに戻して完成！・・・ではありません。
この時点ではｔの式を微分したので、ｄｙ／ｄｔ＝ｎｔｎ－１です。ｄｙ／ｄｘではありません。
ｙ＝(ａｘ＋ｂ)ｎの微分は、ｄｙ／ｄｘですね。
ｄｙ／ｄｔを使うと、ｄｙ／ｄｘ＝(ｄｙ／ｄｔ)・(ｄｔ／ｄｘ)と表すこともできます。
つまり、ｄｙ／ｄｘは、ｄｙ／ｄｔとｄｔ／ｄｘの積になります。
ｄｔ／ｄｘ＝(ａｘ＋ｂ)'＝ａなので、
ｄｙ／ｄｘ＝ｎｔｎ－１・ａ
ここでｔ＝ａｘ＋ｂに戻せば、
ｄｙ／ｄｔ＝ａｎ(ａｘ＋ｂ)ｎ－１
というわけで、ｙ＝(ａｘ＋ｂ)ｎの微分が完成しました。
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◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ
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ラベル：数学
