高校数学(用語と公式)「三角関数の微分」

高校数学(用語と公式)「三角関数の微分」

★三角関数の微分(differentiation of trigonometric function)

いろいろな問題を解くためには、基本的な公式は理屈抜きでわかる必要があります。

(ｓｉｎｘ)'＝ｃｏｓｘ
(ｃｏｓｘ)'＝−ｓｉｎｘ
(ｔａｎｘ)'＝１／ｃｏｓ²ｘ

これらの導き方を覚えている必要性はそれほどありませんが、
タンジェントの微分は、サインの微分とコサインの微分、商の微分を用いて導けるようにしておいた方が良いです。

ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘだから、(ｔａｎｘ)'＝(ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘ)'

商の微分法より、(ｔａｎｘ)'＝{(ｓｉｎｘ)'・ｃｏｓｘ−ｓｉｎｘ・(ｃｏｓｘ)'}／ｃｏｓ²ｘ

(ｓｉｎｘ)'＝ｃｏｓｘ，(ｃｏｓｘ)'＝−ｓｉｎｘだから、

{(ｓｉｎｘ)'・ｃｏｓｘ−ｓｉｎｘ・(ｃｏｓｘ)'}／(ｃｏｓ²ｘ)＝(ｃｏｓ²ｘ＋ｓｉｎ²ｘ)／ｃｏｓ²ｘ

三角比の相互関係より、ｓｉｎ²ｘ＋ｃｏｓ²ｘ＝１なので、分子は１になります。
よって、

(ｔａｎｘ)'＝１／ｃｏｓ²ｘ


ちなみに、サインとコサインの微分の公式は(タンジェントも)、三角関数の合成と極限を用いるなどの方法で導くことができます。


数学３微分の習得に活用してください。好評です！



◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ


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