■ 問題
ｙ＝ｘ^3−ｘ^2の接線のうち、傾きが１のものをすべて求めよ。
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■ 解答解説
接線の傾きは導関数です。
曲線のグラフの接線を考えると、場所によって傾きが変わります。その傾きを式で表すと導関数になる。ということができます。
今回の問題では、ｙ＝ｘ^3−ｘ^2の接線について考えるので、まずはｙ＝ｘ^3−ｘ^2の導関数を求めます。
ｙ'＝３ｘ^2−２ｘ
ですね。
これが接線の傾きを表します。
「傾きが１」のものを求めるので、ｙ'＝１です。
３ｘ^2−２ｘ＝１
２次方程式になったので、普通に解いてみると、
３ｘ^2−２ｘ−１＝０
(３ｘ＋１)(ｘ−１)＝０
∴ｘ＝−１／３，１
つまり、傾きが１になるのは、ｘ＝−１／３とｘ＝１における接線です。
というわけで、これらの式を求めます。
傾きは１とわかっているので、あとは座標が必要です。
ｘ＝−１／３のとき、ｙ＝(−１／３)^3−(−１／３)^2＝−１／２７−１／９＝−４／２７
求める直線は、ｙ−(−４／２７)＝１{ｘ−(−１／３)}より、ｙ＝ｘ＋５／２７
ｘ＝１のとき、ｙ＝１−１＝０
求める直線は、ｙ−０＝１(ｘ−１)よりｙ＝ｘ−１
◆関連項目
微分積分(数学２)まとめ
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