高校数学「２次不等式」ｘ^2−６ｘ＋ｋ＜０の整数解

高校数学「２次不等式」ｘ²−６ｘ＋ｋ＜０の整数解

■　問題

ｘ²−６ｘ＋ｋ＜０の整数解が３だけであるようなｋの値の範囲を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

この問題に限らず、２次不等式の問題は、グラフを使って考えます。

ｘ²−６ｘ＋ｋ＜０の解は、ｙ＝ｘ²−６ｘ＋ｋのグラフがｘ軸より下を通る範囲を表します。

「整数解が３だけ」になるためには、この「ｘ軸より下」の範囲に３だけが入ればＯＫというわけです。

そして、ｙ＝ｘ²−６ｘ＋ｋのグラフは下に凸なので、「ｘ軸より下」の範囲に３だけが入るためには、２と３の間と３と４の間でｘ軸と交わればいい。ということができます。


ｆ(ｘ)＝ｘ²−６ｘ＋ｋとすると、

２と３の間でｘ軸と交わるならば、ｆ(２)＞０，ｆ(３)＜０ですね。
さらに、３と４の間でｘ軸と交わるならば、ｆ(３)＜０，ｆ(４)＞０です。

これらを全て満たす範囲が求めるｋの範囲です。
計算してみましょう！

ｆ(２)＝２²−６×２＋ｋ
　　＝４−１２＋ｋ
　　＝−８＋Ｋ＞０
　　　　　　ｋ＞８

ｆ(３)＝３²−６×３＋ｋ
　　＝９−１８＋ｋ
　　＝−９＋ｋ＜０
　　　　　　ｋ＜９

ｆ(４)＝４²−６×４＋ｋ
　　＝１６−２４＋ｋ
　　＝−８＋ｋ＞０
　　　　　　ｋ＞８

これらの共通範囲は、８＜ｋ＜９


◆関連項目
２次不等式３ｘ−２ｘ^2＜６
２次関数まとめ


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