■ 問題
∫(3x+2)5dxの不定積分を求めよ。
5乗の展開をして積分することもできなくはないですが、それはとても面倒なので、置換積分法を使うとよいです。
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
カッコの中身を例えばtとおきます。
3x+2=tとすると、
(与式)=∫t5dx
ですね。
tについての式になったので、dxをdtにする必要があります。
3x+2=tよりdt/dx=(3x+2)'=3
さらにこれを変形して、dt=3dxよりdx=(1/3)dt
つまり与式は∫t5・(1/3)dtと書き換えることができます。
これを普通に積分すると、
∫t5・(1/3)dt
=(1/3)・(1/6)・t6+C
あとはtを元に戻して計算します。
=(1/18)(3x+2)6+C
◆関連項目
置換積分法
微分積分(数学3)まとめ
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ラベル:数学