■ 問題
ｙ＝ｓｉｎｘの第ｎ次導関数を求めよ。
第ｎ次導関数とは、ｎ回微分した関数ですね。
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
ｙ＝ｓｉｎｘを１回微分すると、ｙ'＝ｃｏｓｘですね。
つまり、第１次導関数はｙ'＝ｃｏｓｘです。
さらにもう１回微分すると、ｙ''＝－ｓｉｎｘです。
これをさらに微分すると、ｙ'''＝－ｃｏｓｘ
もう一回微分して第４次導関数を求めると、ｙ(4)＝ｓｉｎｘとなります。
もとのｙ＝ｓｉｎｘと同じになりましたね。
このように、周期的に同じ式が表れる場合は、ｎの値によって場合分けして答えてもＯＫです。
でもこの場合は、三角関数の公式を使うともっとシンプルに第ｎ次導関数を表せます。
ｃｏｓｘ＝ｓｉｎ(ｘ＋π／２)という公式がありましたね。
数学１で登場したものです。または数学２の加法定理から導いても良いです。
これを使うと、
ｙ'＝ｃｏｓｘ＝ｓｉｎ(ｘ＋π／２)
と表すことができます。
さらにこれを微分すれば、
ｙ''＝ｃｏｓ(ｘ＋π／２)＝ｓｉｎ(ｘ＋π／２＋π／２)
ですね。
つまり、ｙ＝ｓｉｎｘは、「微分すると角度の部分にπ／２を足す」と見ることもできます。
１回微分する度にπ／２を足していくのだから、ｎ回微分すればｎ×π／２を足す。というわけです。
だから、
ｙ(n)＝ｓｉｎ(ｘ＋ｎπ／２)
◆関連項目
第ｎ次導関数、９０°－θの公式、加法定理
微分積分(数学３)まとめ
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ラベル：数学
