■ 問題
∫ｔａｎｘｄｘの不定積分を求めよ。
タンジェントの積分を公式として暗記する人もいると思いますが、∫{ｆ'(ｘ)／ｆ(ｘ)}ｄｘ＝ｌｏｇ|ｆ(ｘ)|＋Ｃでできるようにしておいた方が良いですね。
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
対数関数の微分の逆の、∫{ｆ'(ｘ)／ｆ(ｘ)}ｄｘ＝ｌｏｇ|ｆ(ｘ)|＋Ｃを使う方針で考えていきます。
まず、三角関数の相互関係より、ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘですね。
(ｓｉｎｘ)'＝ｃｏｓｘ，(ｃｏｓｘ)'＝−ｓｉｎｘだから、この式は「分子と分母が(だいたい)微分積分の関係になっている」というイメージを持っておくと、積分の計算への応用に気づきやすくなると思います。
ここで改めて、分母の微分をやってみると、(ｃｏｓｘ)'＝−ｓｉｎｘですね。
ｆ(ｘ)＝ｃｏｓｘとするとｆ'(ｘ)＝−ｓｉｎｘです。
∫{ｆ'(ｘ)／ｆ(ｘ)}ｄｘ＝ｌｏｇ|ｆ(ｘ)|＋Ｃに当てはめると、
∫(−ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘ)ｄｘ＝ｌｏｇ|ｃｏｓｘ|＋Ｃ
です。
このままでは、ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘとは符号が合わないので調整して、
ｔａｎｘ＝−(−ｓｉｎｘ)／ｃｏｓｘ
このようにします。すると、
∫ｔａｎｘｄｘ＝−∫(−ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘ)ｄｘ
＝−ｌｏｇ|ｃｏｓｘ|＋Ｃ
これで完成です！
◆関連項目
三角関数の相互関係、不定積分、合成関数の微分、対数関数の微分
微分積分(数学３)まとめ
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ラベル：積分
