■ 問題
∫(1/sinx)dxの不定積分を求めよ。
三角関数の積分は、やりやすい形になるよう変形が必要な場合が多いです。
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
∫tanxdxの不定積分と同様に、分子と分母にサインとコサインが出てくる形を目指します。
そうなれば、置換積分法や対数関数の微分の逆の、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cを使うことができる。というイメージです。
1/sinx=sinx/sin2xとすれば、三角関数の相互関係より、
sinx/(1−cos2x)
このように直すことができます。
例えばcosx=tとおくと、t'=−sinxすなわちdt/dx=−sinxだから、dt=−sinxdxです。
さらに符号を変えて、−dt=sinxdxとしておくと扱いやすいです。
与式にここまでの式を当てはめると、
∫(1/sinx)dx
=∫(sinx/sin2x)dx
=∫{sinx/(1−cos2x)}dx
=−∫{1/(1−t2)}dt ←sinxdx=−dtで置き換えた
=∫{1/(t2−1)}dt
とりあえずここまできました。
積分では、次数が低くないと計算が大変なので、なるべく1次式になることを目指します。
分母が因数分解できるのでやってみると、
=∫{1/(t−1)(t+1)}dt
1/(t−1)−1/(t+1)={t+1−(t−1)}/{(t−1)(t+1)}=2/(t−1)(t+1)だから、
1/(t−1)(t+1)=(1/2){1/(t−1)−1/(t+1)}
つまり、
=(1/2)∫{1/(t−1)−1/(t+1)}dt
このように変形できます。部分分数分解の手法ですね。
(t−1)'=1,(t+1)'=1だから、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cを使って、
=(1/2)(log|t−1|−log|t+1|)+C
=(1/2)log|(t−1)/(t+1)|+C
最後はtをcosxに戻して、
=(1/2)・log|(cosx−1)/(cosx+1)|+C
◆関連項目
三角関数の相互関係、不定積分、合成関数の微分、対数関数の微分
微分積分(数学3)まとめ
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ラベル:数学