高校数学「積分」∫(ｘ^2・ｅ^x)ｄｘの不定積分

高校数学「積分」∫ｘ²ｅ^xｄｘの不定積分

■　問題

∫ｘ²ｅ^xｄｘの不定積分を求めよ。

関数の積を積分するときは部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

部分積分法の基本的なやり方はこちらをごらんください。
２つの関数の積を積分する方法が部分積分法です。
積の微分法の逆から式を作ることができると理解しておくと、公式として覚えていなくても解くことができます。

ｆ(ｘ)＝ｘ²，ｇ'(ｘ)＝ｅ^xとすると、ｆ'(ｘ)＝２ｘ，ｇ(ｘ)＝ｅ^xです。

　∫ｘ²ｅ^xｄｘ
＝ｘ²・ｅ^x−∫２ｘ・ｅ^xｄｘ
＝ｘ²・ｅ^x−２∫ｘ・ｅ^xｄｘ

ここで、∫ｘ・ｅ^xｄｘの部分もまた積なので、もう一度部分積分法を使います。

＝ｘ²・ｅ^x−２(ｘ・ｅ^x−∫１・ｅ^xｄｘ)
＝ｘ²・ｅ^x−２(ｘ・ｅ^x−ｅ^x)＋Ｃ

これで終わりでも間違いとは言えませんが、ｅ^xが共通しているので、くくっておいた方が良いでしょう！

＝ｅ^x(ｘ²−２ｘ＋２)＋Ｃ


◆関連項目
不定積分、部分積分法
対数関数の微分
微分積分(数学３)まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−