2021年12月24日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学1A第3問

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学1A第3問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


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■ 問題

2021年共通テスト第1日程数1Aより

第3問

 中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを
引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が
高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。

(1) 当たりくじを引く確率が1/2である箱Aと、当たりくじを引く確率が1/3
である箱Bの二つの箱の場合を考える。

(i) 各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき

  箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は[ア]/[イ] …{1}
  箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は[ウ]/[エ] …{2}

である。

(ii) まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱に
おいて、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中
ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが選ばれる事象
をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると

  P(A∩W)=(1/2)×([ア]/[イ]),P(B∩W)=(1/2)×([ウ]/[エ])

である。P(W)=P(A∩W)+P(B∩W)であるから、3回中ちょうど1回
当たったとき、選んだ箱がAである条件付き確率PW(A)は[オカ]/[キク]となる。
また、条件付き確率PW(B)は[ケコ]/[サシ]となる。


(2) (1)のPW(A)とPW(B)について、次の[事実](*)が成り立つ。

―事実(*)―――――――――――――――――――――――――――
|Pw(A)とPw(B)の[ス]は、{1}の確率と{2}の確率の[ス]に等しい。|
――――――――――――――――――――――――――――――――

[ス]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――
|{0} 和  {2} 2乗の和  {2} 3乗の和  {3} 比  {4} 積 |
―――――――――――――――――――――――――――――――


(3) 花子さんと太郎さんは[事実](*)について話している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|花子:[事実](*)はなぜ成り立つのかな?               |
|太郎:PW(A)とPW(B)を求めるのに必要なP(A∩W)とP(B∩W)の計算|
|   で、{1],{2}の確率に同じ数1/2をかけているからだよ。    |
|花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数1/3をかける |
|   ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。        |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

 当たりくじを引く確率が、1/2である箱A,1/3である箱B,1/4である
箱Cの三つの箱の場合を考える。まず、A,B,Cのうちどれか一つの箱を
でたらめに選ぶ。次のその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す
試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、選んだ
箱がAである条件付き確率は[セソタ]/[チツテ]となる。


(4)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の[ス]は各箱で3回中 |
|   ちょうど1回当たりくじを引く確率の[ス]になっているみたいだね。|
|太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、|
|   その大きさを比較することができるね。             |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

 当たりくじを引く確率が、1/2である箱A,1/3である箱B,1/4である
箱C,1/5である箱Dの四つの箱の場合を考える。まず、A,B,C,Dのうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いて
はもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。この
とき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。
可能性が高い方から順に並べると[ト]となる。

[ト]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――――
|{0} A,B,C,D  {1} A,B,D,C  {2} A,C,B,D |
|{3} A,C,D,B  {4} A,D,B,C  {5} B,A,C,D |
|{6} B,A,D,C  {7} B,C,A,D  {8} B,C,D,A |
―――――――――――――――――――――――――――――――――


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 Pは順列、Cは組み合わせ
 ◆2 同時に起こるなら×、同時に起こらないなら+
 ◆3 同じ確率を繰り返すなら「反復試行」

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 同じ確率を繰り返すなら「反復試行」

では今回の問題です。

箱Aと箱Bがあり、それぞれの箱にはくじが入っているようです。

まずは「当たりくじを引く確率が1/2である箱A」から3回連続ひいて、
ちょうど1回当たる確率を考えます。

同じ確率の事象を繰り返すので、いわゆり「反復試行」の考え方を使うのが
ノーマルです。

あたりは3回中1回なので、あたりが何回目に出るか?のパターンは3C1=3通り
あります。
あたりは1/2,ハズレも1/2なので、あたり1回ハズレ2回の確率は、

3C1・(1/2)(1/2)^2=3/8

となります。

箱Bも同様にやると、


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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