■ 問題
次の定積分を求めよ。
\( \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} \, dx \)
４－ｘ2の１／２乗と考えることも可能ですが、この形のときは三角関数を使うと式が簡単になり、積分の計算も楽です。
置換積分法を使います。
■ 解答解説
ｘ＝２ｓｉｎθとおくと、ｄｘ／ｄθ＝２ｃｏｓθだから、ｄｘ＝２ｃｏｓθ・ｄθですね。
これを使って与式を置き換えるという方針です。
ただし、このように変数を変えると、積分の区間も変わることに注意が必要です。
ｘ＝１のとき
１＝２ｓｉｎθ
ｓｉｎθ＝１／２
θ＝π／６
ｘ＝２のとき
２＝２ｓｉｎθ
ｓｉｎθ＝１
θ＝π／２
だから、積分の区間は[π/6～π/2]となります。
つまり、
\( \int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}} \sqrt{\,4 - \left( 2 \sin \theta \right)^{2}} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta \)
この時点では、もとの式より大幅にややこしくなってしまったように見えますが、三角関数の公式をうまく使って変形すると、積分しやすい次数の低い式になります。
まずは√の中身を４でくくって、
\( \int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}} \sqrt{\,4 \left( 1 - \sin^{2} \theta \right)} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta \)
三角比の相互関係より１－ｓｉｎ2θ＝ｃｏｓ2θだから、
\( = \int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}} \sqrt{\,4 \cos^{2}\theta} \cdot 2 \cos \theta \, d\theta \)
\( = \int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}} 2 \cos \theta \cdot 2 \cos \theta \, d\theta \)
\( = \int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}} 4 \cos^{2}\theta \, d\theta \)
２倍角の公式よりｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ2θ－ｓｉｎ2θ＝２ｃｏｓ2θ－１すなわち、ｃｏｓ2θ＝(ｃｏｓ２θ＋１)／２だから、
\( = \int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}} 2 \left( \cos 2\theta + 1 \right) \, d\theta \)
これで１次式の三角関数になりました。積分の公式が使いやすくなりましたね。
\( = \left[ \tfrac{1}{2} \cdot 2 \sin 2\theta + 2\theta \right]_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}} \)
\( = \left[ \sin 2\theta + 2\theta \right]_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}} \)
\( = (0 + \pi) - \left( \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{\pi}{3} \right) \)
\( = \tfrac{2}{3}\pi - \tfrac{\sqrt{3}}{2} \)
◆関連項目
置換積分法
微分積分(数学３)まとめ
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