■ 問題
次の定積分を求めよ。
∫[1〜2]√(4−x2)dx
4−x2の1/2乗と考えることも可能ですが、この形のときは三角関数を使うと式が簡単になり、積分の計算も楽です。
解答解説はこのページ下です。
■ 解答解説
x=2sinθとおくと、dx/dθ=2cosθだから、dx=2cosθ・dθですね。
これを使って与式を置き換えるという方向です。
ただし、このように変数を変えると、積分の区間も変わることに注意が必要です。
x=1のとき
1=2sinθ
sinθ=1/2
θ=π/6
x=2のとき
2=2sinθ
sinθ=1
θ=π/2
だから、積分の区間は[π/6〜π/2]となります。
つまり、
∫[π/6〜π/2]√{4−(2sinθ)2}・2cosθdθ
この時点では、もとの式より大幅にややこしくなってしまったように見えますが、三角関数の公式をうまく使って変形すると、積分しやすい次数の低い式になります。
まずは√の中身を4でくくって、
=∫[π/6〜π/2]√[4{1−(sinθ)2}]・2cosθdθ
三角比の相互関係より1−sin2θ=cos2θだから、
=∫[π/6〜π/2]√(4cos2θ)・2cosθdθ
=∫[π/6〜π/2]2cosθ・2cosθdθ
=∫[π/6〜π/2]4cos2θdθ
2倍角の公式よりcos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1すなわち、cos2θ=cos2θ+1だから、
=∫[π/6〜π/2]2(cos2θ+1)dθ
これで1次式の三角関数になりました。積分の公式が使いやすくなりましたね。
=[(1/2)・2sin2θ+2θ][π/6〜π/2]
=[sin2θ+2θ][π/6〜π/2]
=(0+π)−(√3/2+π/3)
=(2/3)π−√3/2
◆関連項目
置換積分法
微分積分(数学3)まとめ
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ラベル:数学