2022年03月11日

高校数学「定積分」「置換積分法」∫[1〜2]√(4−x2)dxの積分

高校数学「定積分」「置換積分法」∫[1〜2]√(4−x2)dxの積分

■ 問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜2]√(4−x2)dx


4−x2の1/2乗と考えることも可能ですが、この形のときは三角関数を使うと式が簡単になり、積分の計算も楽です。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

x=2sinθとおくと、dx/dθ=2cosθだから、dx=2cosθ・dθですね。
これを使って与式を置き換えるという方向です。
ただし、このように変数を変えると、積分の区間も変わることに注意が必要です。

x=1のとき
  1=2sinθ
sinθ=1/2
   θ=π/6

x=2のとき
  2=2sinθ
sinθ=1
   θ=π/2

だから、積分の区間は[π/6〜π/2]となります。
つまり、

∫[π/6〜π/2]√{4−(2sinθ)2}・2cosθdθ

この時点では、もとの式より大幅にややこしくなってしまったように見えますが、三角関数の公式をうまく使って変形すると、積分しやすい次数の低い式になります。
まずは√の中身を4でくくって、

=∫[π/6〜π/2]√[4{1−(sinθ)2}]・2cosθdθ

三角比の相互関係より1−sin2θ=cos2θだから、

=∫[π/6〜π/2]√(4cos2θ)・2cosθdθ
=∫[π/6〜π/2]2cosθ・2cosθdθ
=∫[π/6〜π/2]4cos2θdθ

2倍角の公式よりcos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1すなわち、cos2θ=cos2θ+1だから、

=∫[π/6〜π/2]2(cos2θ+1)dθ

これで1次式の三角関数になりました。積分の公式が使いやすくなりましたね。

=[(1/2)・2sin2θ+2θ][π/6〜π/2]
=[sin2θ+2θ][π/6〜π/2]
=(0+π)−(√3/2+π/3)
=(2/3)π−√3/2


◆関連項目
置換積分法
微分積分(数学3)まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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