2022年05月07日

高校物理「等速円運動」円錐容器内を周回する物体の運動B

高校物理「等速円運動」円錐容器内を周回する物体の運動B

◆問題

内面がなめらかな円錐形容器が、中心軸が鉛直方向と一致するように、頂点を下にして固定されている。この円錐の頂点を原点とし、鉛直上向きにz軸をとると、z軸と円錐面とのなす角はθとなる。この円錐形容器の内側の点Aから、面に沿って水平方向に質量mの小球を速さv0で打ち出したところ、小球は一定の高さを保ったまま等速円運動をした。重力加速度の大きさをg,点Aのz座標をzAとして次の問いに答えよ。

(1) 小球がこの円錐容器の面から受ける垂直抗力Nの大きさをm,g,θで表せ。

(2) 等速円運動の向心力Fの大きさをm,g,θで表せ。

(3) v0をZA,g,θで表せ。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

等速円運動の向心力はF=mg/tanθなので、これだけの向心力を発生させるような速さで回転している。と考えられます。

円錐の中心とのなす角はθで、高さzAの点で等速円運動しているので、直角三角形を考えると、円運動の半径は

r=zA・tanθ

となります。

公式より、円運動の向心力は「F=mrω^2」

そして、速さは「v=rω」より「ω=v/r」だから、

F=mr(v/r)^2=mv^2/r

です。

それぞれ代入すると、

mg/tanθ=mv^2/(zA・tanθ)

両辺に共通するものを消すと、

g=v^2/zA

さらにvについて解くと、

v^2=g・zA
 v=√(g・zA)

高さzAを保って等速円運動しているときは、この速さで回転していることになります。
つまり、v0=vだから、

v0=√(g・zA)


次の問題→等速円運動の周期


◆関連問題
振り子の円運動

◆関連項目
等速円運動角速度周期、振動数向心力
円運動まとめ


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posted by えま at 22:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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