高校物理「等速円運動」円錐容器内を周回する物体の運動B
◆問題
内面がなめらかな円錐形容器が、中心軸が鉛直方向と一致するように、頂点を下にして固定されている。この円錐の頂点を原点とし、鉛直上向きにz軸をとると、z軸と円錐面とのなす角はθとなる。この円錐形容器の内側の点Aから、面に沿って水平方向に質量mの小球を速さv0で打ち出したところ、小球は一定の高さを保ったまま等速円運動をした。重力加速度の大きさをg,点Aのz座標をzAとして次の問いに答えよ。
(1) 小球がこの円錐容器の面から受ける垂直抗力Nの大きさをm,g,θで表せ。
(2) 等速円運動の向心力Fの大きさをm,g,θで表せ。
(3) v0をZA,g,θで表せ。
この記事では(3)を解説します。
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◆解説
等速円運動の向心力はF=mg/tanθなので、これだけの向心力を発生させるような速さで回転している。と考えられます。
円錐の中心とのなす角はθで、高さzAの点で等速円運動しているので、直角三角形を考えると、円運動の半径は
r=zA・tanθ
となります。
公式より、円運動の向心力は「F=mrω^2」
そして、速さは「v=rω」より「ω=v/r」だから、
F=mr(v/r)^2=mv^2/r
です。
それぞれ代入すると、
mg/tanθ=mv^2/(zA・tanθ)
両辺に共通するものを消すと、
g=v^2/zA
さらにvについて解くと、
v^2=g・zA
v=√(g・zA)
高さzAを保って等速円運動しているときは、この速さで回転していることになります。
つまり、v0=vだから、
v0=√(g・zA)
次の問題→等速円運動の周期
◆関連問題
振り子の円運動
◆関連項目
等速円運動、角速度、周期、振動数、向心力
円運動まとめ
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2022年05月07日
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