【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数２Ｂより
第５問
平面上の点Ｏを中心とする半径１の円周上に、３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、
→ＯＡ・→ＯＢ＝－２／３および→ＯＣ＝－→ＯＡを満たすとする。ｔを
０＜ｔ＜１を満たす実数とし、線分ＡＢをｔ：(１－ｔ)に内分する点をＰとする。
また、直線ＯＰ上に点Ｑをとる。
(1) ｃｏｓ∠ＡＯＢ＝[アイ]／[ウ]である。
また、実数ｋを用いて、→ＯＱ＝ｋ・→ＯＰと表せる。したがって
→ＯＱ＝[エ]・→ＯＡ＋[オ]・→ＯＢ ……{1}
→ＣＱ＝[カ]・→ＯＡ＋[キ]・→ＯＢ
となる。
→ＯＡと→ＯＰが垂直となるのは、ｔ＝[ク]／[ケ]のときである。
[エ]～[キ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｋｔ {1} (ｋ－ｋｔ) {2} (ｋｔ＋１) ｜
｜{3} (ｋｔ－１) {4} (ｋ－ｋｔ＋１) {5} (ｋ－ｋｔ－１) ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
以下、ｔ≠[ク]／[ケ]とし、∠ＯＣＱが直角であるとする。
(2) ∠ＯＣＱが直角であることにより、(1)のｋは
ｋ＝[コ]／([サ]ｔ－[シ]) ……{2}
となることがわかる。
平面から直線ＯＡを除いた部分は、直線ＯＡを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Ｂを含む部分をＤ1，含まない部分をＤ2とする。また、平面から
直線ＯＢを除いた部分は、直線ＯＢを境に二つの部分に分けられる。そのうち、
点Ａを含む部分をＥ1，含まない部分をＥ2とする。
・０＜ｔ＜[ク]／[ケ]ならば、点Ｑは[ス]。
・[ク]／[ケ]＜ｔ＜１ならば、点Ｑは[セ]。
[ス]，[セ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} Ｄ1に含まれ、かつＥ1に含まれる ｜
｜ {1} Ｄ1に含まれ、かつＥ2に含まれる ｜
｜ {2} Ｄ2に含まれ、かつＥ1に含まれる ｜
｜ {3} Ｄ2に含まれ、かつＥ2に含まれる ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
つづく
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ ベクトルの成分と大きさ
◆２ ベクトルの四則計算
◆３ 円の中心と円周を結ぶと半径
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
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◆３ 円の中心と円周を結ぶと半径
では今回の問題の内容を確認しましょう！
「平面上の点Ｏを中心とする半径１の円周上に、３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり」
「→ＯＡ・→ＯＢ＝－２／３および→ＯＣ＝－→ＯＡを満たす」
との記述があります。
半径１の円があり、その中心と円周上の点を始点・終点とするベクトルを考えて
いますね。
ＯＡ，ＯＢは円Ｏの半径なので、|→ＯＡ|＝|→ＯＢ|＝１です。
内積の公式より、→ＯＡ・→ＯＢ＝|→ＯＡ||→ＯＢ|ｃｏｓθだから、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
