高校物理「等速円運動」円錐面上での等速円運動�A

高校物理「等速円運動」円錐面上での等速円運動�A

◆問題

半頂角がθの円錐が、頂点を上にして水平面上に固定されている。長さｌの意図の一端を円錐の頂点に固定し、他端に質量ｍの小球をつけ、円錐面上でこの小球を速さｖで等速円運動させた。このとき次の問いに答えよ。ただし、糸の張力の大きさをＴ，小球が受ける垂直抗力の大きさをＮ、重力加速度をｇとする。

(1) 小球が受ける鉛直方向の力のつりあいの式を求めよ。

(2) 小球の半径方向の運動方程式を示せ。


この記事では(2)を解説します。


★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、学校の授業の補習、定期テスト対策はもちろん、「大学入試共通テスト」など大学受験の対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

三角コーンが地面の上に置いてあって、その頂点に糸を取り付けた形をイメージしてください。

この小球にはたらく力を整理すると、

・小球は重力を受けます。
・糸によってつるされているので、糸から張力を受けます。
・小球は円錐面と接しているので、円錐面から垂直抗力を受けます。
・等速円運動をしているので、一定の向心力がはたらいています。

このようになります。

糸の長さはｌで円錐の半頂角はθだから、円運動の回転半径はｌ・ｓｉｎθとなります。
そして回転の速さはｖで、それに応じた向心力が働いている。と考えることができます。
つまり、向心力Ｆは

Ｆ＝ｍｒω^2

ｖ＝ｒωよりω＝ｖ／ｒだから、

Ｆ＝ｍｒ(ｖ／ｒ)^2＝ｍｖ^2／ｒ

これにｒ＝ｌｓｉｎθを代入すると、

Ｆ＝ｍｖ^2／ｌｓｉｎθ　…�@

そして、糸の張力Ｔの水平成分はＴｓｉｎθで円の中心方向、垂直抗力Ｎの水平成分はＮｃｏｓθで円の外部方向です。
これらの合力が向心力となります。円の中心方向を正とすると、

Ｆ＝Ｔｓｉｎθ−Ｎｃｏｓθ　…�A

�@＝�Aなので、

ｍｖ^2／ｌｓｉｎθ＝Ｔｓｉｎθ−Ｎｃｏｓθ

これで求める方程式ができました！


次の問題→垂直抗力Ｎの大きさ


◆関連問題
円錐容器内の物体の運動、振り子の円運動

◆関連項目
等速円運動、角速度、周期、振動数、向心力
円運動まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−